公切線

摘 要：與兩曲線同時(shí)相切的直線即為兩曲線的公切線，公切線可分切點(diǎn)相同和切點(diǎn)不同這兩種情況. 比較兩曲線大小，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，用公切線加以解決.

關(guān)鍵詞：比較兩曲線大小；公切線；數(shù)形結(jié)合思想

在平時(shí)的解題中，筆者發(fā)現(xiàn)：公切線在比較兩曲線大小時(shí)發(fā)揮著非常好的中介作用，大大優(yōu)化了此類試題的解題過(guò)程，給我們?nèi)碌慕忸}視角，現(xiàn)分兩類舉例說(shuō)明.

[?] 切點(diǎn)相同型

當(dāng)切點(diǎn)相同時(shí)，公切線可很好地處理“f（x）≥g（x）”這種情況.

例1 （2011年遼寧卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），且在點(diǎn)P處的切線斜率為2.

（1）求a，b的值；

（2）證明：f（x）≤2x-2.

分析：在證明f（x）≤2x-2時(shí)，我們常直接構(gòu)造函數(shù)：h（x）=f（x）-2x+2，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h（x）的單調(diào)性，再證明：函數(shù)y=h（x）≤0恒成立就行了，所以高考給出如下參考答案.

證明：（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由（1）知f（x）=x-x2+3lnx.

設(shè)h（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，則

h′（x）=-1-2x+=-.

當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）<0.

所以h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減.

而h（1）=0，故當(dāng)x>0時(shí)，h（x）≤0，即f（x）≤2x-2.

上述解題方法很常規(guī)，沒(méi)什么新意，筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：借助公切線能很好地處理此題，另證明如下：

（1）（略）a=-1，b=3.

（2）要證：f（x）≤2x-2，即要證：x2+x-2≥3lnx.

設(shè)函數(shù)g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx，

易得：當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=h（x）.

而函數(shù)g（x）=x2+x-2與函數(shù)h（x）=3lnx在（1，0）點(diǎn)處的切線均為：y=3x-3，即直線y=3x-3為兩函數(shù)g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx的公切線.

結(jié)合圖象（如圖1）易得：g（x）≥3x-3≥h（x），且g（x）=3x-3與h（x）=3x-3同時(shí)在x=1時(shí)成立.

所以：g（x）≥h（x），即f（x）≤2x-2成立.

[y][O][x][-2][1]

圖1

[?] 切點(diǎn)不同型

當(dāng)切點(diǎn)不同時(shí)，公切線可很好地處理“f（x）>g（x）”這種情況.

例2 已知函數(shù)f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=，

（1）若a=1，求f（x）的極小值；

（2）在（1）的條件下證明：f（x）-1>g（x）-.

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求解；

（2）在證明f（x）-1>g（x）-時(shí)，我們常直接構(gòu)造函數(shù)：h（x）=f（x）-g（x）+-1，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=h（x）的單調(diào)性，再證明：函數(shù)y=h（x）>0恒成立就行了. 于是就有如下解題過(guò)程：

設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）+-1=x-lnx-+-1.

令h′（x）=1--==0，即得：x2-x+lnx-1=0.

評(píng)析：此方程是個(gè)超越方程，一般情況下，超越……