求一元或多元函數最值的若干策略

張小雁

摘 要：求一元或多元函數最值的問題不僅是高中數學教學的重要內容，而且是高考、數學競賽的熱點之一，本文就如何求一元或多元函數最值問題歸納出幾種方法，以期達到拋磚引玉的作用.

關鍵詞：一元、多元函數；最值；若干策略

求一元或多元函數最值的問題（有些不等式證明問題也可歸納到求函數最值的問題）具有如下特點：1. 高中數學教學的重要內容；2. 高考、數學競賽的熱點之一；3. 解法靈活多樣，無固定模式；4. 涉及知識點較多；5. 可考查學生應用涉及知識點的靈活程度；6. 實際生活中優化問題可歸結為此類問題，因此此類問題近年來在各級各類考試中多有出現. 本文就如何求一元或多元函數最值問題歸納出如下幾種方法，以期達到拋磚引玉的作用.

[?] 利用一元二次方程有解的充要條件或二次函數的性質

例1 （2010浙江高考）設x、y為實數，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

解：設2x+y=s，則y=s-2x，

所以4x2+（s-2x）2+x（s-2x）-1=0，整理得6x2-3sx+s2-1=0.

因為x∈R，所以Δ=9s2-24（s2-1）≥0，所以-≤s≤，

所以smax=，

即（2x+y）max=.

例2 （美國中學生第七屆競賽題）已知：實數a、b、c、d 、e滿足：a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值.

解：設f（t）=（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2+（t-d）2，

則f（t）=4t2-2（a+b+c+d）t+（a2+b2+c2+d2）=4t2-2（8-e）t+（16-e2），

易知f（t）≥0，所以Δ=4（8-e）2-16（16-e2）=20e2-4×16e≤0，所以0≤e≤，所以emax=.

[?] 利用柯西不等式或均值不等式

例3 求函數y=+

x∈

0，

的最小值.

解：y=+=2x+

-x ·

+≥2·

·

+

·=2

+2=2×=25，

當且僅當=，即x=∈（0，1）時“=”成立，所以當x=時，ymin=25.

例4 （2012全國數奧甘肅預賽題）已知實數x、y、z滿足：x2+y2+z2=1，求xy+yz的最大值.

解：

x2+y2

+

y2+z2

≥2+2=·（xy+yz），

所以（xy+yz）max=.

例5 （數學通報問題522）已知x+2y+3z+4u+5v=30，求w=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值.

解：[11+（）2+（）2+（）2+（）2]·[x2+（y）2+（z）2+（u）2+（v）2]≥[1·x+·（y）+·（z）+·（u）+·（v）]2，

即15w≥302?w≥60，當且僅當x=y=z=u=v=2時“=”成立，所以wmin=60.

[?] 換元法

例6 例3的另解

解：設=m，則x=-. 由09，即m>9，所以y=+m=+m=+（m-9）+9=13++m-9≥13+12=25，當且僅當=m-9即m=15，x=時，“=”成立，所以當x=時，ymin=25.

[?] 減元法

例7 （2010重慶高考）已知x，y∈R+且x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

解：因為x+2y+2xy=8，所以y=>0，所以0

所以（x+2y）min=4.

[?] 三角代換法

例8 已……