職高數學教學中開展研究性學習的探索與實踐

丁德東

【摘要】普遍意義上的研究性學習是指學生通過與研究相類似的認知方式和心理過程來了解、接受、理解、記憶和應用人類已有文明以及國家或學校的舉辦者所規定的內容的認知活動.職高數學教學中開展研究性學習，在目標定位后，其途徑通常有：通過對教材“再創造”來開展研究性學習，通過數學開放題來開展研究性學習，通過社會實踐來開展研究性學習，通過改革課后作業來開展研究性學習，應用現代教育技術來開展研究性學習.

【關鍵詞】研究性學習；學習方式；數學教學

一、對研究性學習的認識

顧名思義，“研究”即“鉆研”“探究”，在科學、技術領域，研究主要有兩個層次：一是以創建或產生人類文明史上新的知識或技術為目的，提出假設、設計方案，并進行論證和實驗；二是以驗證和修正已有的知識或技術、驗證已有的假設取得的設計方案并進行論證和實驗.“研究性”，就是與研究的上述情況相類似或具有研究的部分特性.

“學習”，《辭海》里解釋為“求得知識技能”.它是“學”與“習”的組合詞，學生的學習是在教師的指導下，在特定的環境中，以特定的組織方式，了解、理解和接受特定的未知對象（即國家或學校的舉辦者所規定的內容，是人類社會已經創建和產生的知識和技術），重復和應用特定的已知對象.

“研究性學習”從語法學上分析，是一個偏正短語，“學習”是“正”，“研究性”是“偏”，是限制、修飾“學習”的，因此，普遍意義上的研究性學習是指學生通過與研究相類似的認知方式和心理過程來了解、接受、理解、記憶和應用人類已有文明以及國家或學校的舉辦者所規定的內容的認知活動.具體地說，當學生通過自己收集事實依據和應用所學過的知識來接受新知識時，當學生從自己的角度來表達和闡釋各自對所學知識的理解時，當學生運用各自所掌握的知識來驗證或批判、修正已有知識時，當學生運用各自獨特的方式來組織所學的知識時，都蘊含著研究性學習的特性.因此，對研究性學習，我們可以理解為把它作為一門課程，即指學生在教師指導下，從自身生活和社會生活中選擇和確定研究專題，以類似科學研究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動；也可以理解為把它作為一種學習方式，一種教育理念或策略，結合學科教學，從現有的教學內容和教學要求出發，選擇適當的切入口，引導學生開展研究.

二、研究性學習在職高數學教學的定位

職高數學研究性學習的要求是面向全體職高學生，而不是只為少數優秀學生而開設.它以激發學生主動探索的積極性，培養學生的創新精神為追求目標，要求學生的研究結果有科學性，但并不強求每名學生的最后研究成果都必須獨一無二.數學的研究性學習首先要立足于課堂和教材，同時要努力創設更好的環境和條件，讓學生體驗生活，動手實驗，勇于探索，合作參與，使他們成為研究者和實踐者.

三、職高數學教學中開展研究性學習的途徑

職高數學教學中，開展研究性學習的主要途徑有：

1.通過對教材“再創造”來開展研究性學習

數學素質教育的主陣地仍是課堂，因此，立足于課堂，深入挖掘教材是研究性學習的基礎.但是也應當看到，學校教育的重要目標具有二重性，一方面，每一名學生都應該吸收.繼承人類經過漫長時間積累起來的文化中的精華，接受作為人類文化遺產的基本知識；另一方面，又要在接受前人經驗的同時，繼續思考研究，開拓創新，站在巨人的肩膀上，看得更遠，走得更快.在數學教學中，如果都按照數學家的最初發現，創造知識的過程來教學生，則需要漫長的時間，顯然是不符合實際.但心理學研究表明，在數學課堂教學中若教師對教材進行“再創造”，可以把教學時間大大縮短.為了在“再創造”的數學教學中提升研究成分，我們應當把握好以下三個環節：（1）揭示知識背景，從數學家的廢紙簍里尋找研究的痕跡，讓學生看到并體驗，面對一個新問題他們是如何去研究、創造的.（2）創設問題情境，給學生一個形象生動、內容豐厚的對象，使學生深入其境，真正作為一個主體去從事研究.（3）暴露思維過程，不僅要給成功的范例，還應展示失敗和挫折，讓學生了解探索的艱辛和反復，體驗研究的氛圍和真諦.

案例1在教學“棱錐體積”時，先讓學生做一個實驗——取一個空三棱錐，并取一個和它同底等高的空三棱柱，在空三棱錐里裝滿細沙，然后倒入空三棱柱里，連倒三次，正好裝滿三棱柱.實驗完畢，讓學生猜想：同底等高的三棱錐與三棱柱體積有怎樣的關系？

在此基礎上，學生很快就猜出棱錐體積V=1[]3Sh，其中S，h分別是棱錐的底面積與高.

由此導入三棱錐的體積公式，接著進一步用分割與補體的思想方法加以證明.

以上例子表明，思維真實是一個很自然的過程.問題是教師不要總是包攬、承擔學生思考權利，學生自己可以做的事就應該放手讓他們去試、去研究.這樣學到的不僅是知識，而且是研究問題的能力.

在數學教學中，往往一個很細小的數學問題就隱藏著值得研究的課題，甚至會有價值的發現.因此，教師要善于抓住問題，從一個片段、一個思考題、一個注釋、一個答案、一個疑問等細微之處讓學生去研究、去發現.

2.通過開放題來開展研究性學習

數學開放題具有促使學生掌握科學的思維方式，以及形成優良的思維品質和正確的數學觀，提高數學表達能力等多種教育功能，由于在開放題的教學中，學生是以知識的主動發現者、探索者和研究者的身份出現，因此，學生不再是“裝”數學，而是“搞”數學，這就可以使他們在一定程度上去體驗數學家進行數學研究的活動過程（盡管兩者完全不同），深切領會數學的實質，因此，數學開放題用于學生研究性學習應是十分有意義的.

開放題的教學主要從兩個方面進行：一是改造課本的封閉的例、習題為開放性問題，二是結合數學教學內容設計新的開放性問題.

案例2在數學“均值不等式”的應用時，筆者設計了“罐頭筒設計”的開放題教學.

首先，老師提出問題：同學們，今天請大家幫助設計一個容積為一定圓柱形狀的罐頭筒，你認為如何設計比較合理？然后將全班分組，確定組長，讓各組同學自由討論暢想，接下來由組長將各組討論情況在全班展示，最后教師歸納整理，得到：

設想1：從“經濟”的角度出發考慮，使得制作罐頭筒的材料最省，也就是使圓柱體的表面積最小，設圖1圓柱體的底半徑為r，高為h，容積為V，如圖1，則

S表面積=2πr2+2πrh.

因為V=2πr2h，

所以S=2πr2+2V[]r=2πr2+V[]r+V[]r≥33[]2πV2.

當2πr2=V[]r，即V=2πr3，此時h=V[]S=2πr3[]πr2=2r.

故當罐頭筒的底半徑r和高h符合h=2r時，表面積最小，設計比較合理.

設想2：制作罐頭筒的材料最省，是使得制作罐頭筒的材料的總重量最小，假設底半徑為r，高為h，容積為v，又設材料的比重為ρ，側面材料的厚度為b，因上底面要用手拉，下底面重量壓力大，故必須圖2考慮上、下底部的材料應厚一些，假設它的厚度是側面厚度的2倍，如圖2，則用料為：

A=2πrhbρ+2πr22bρ=2πbρ2r2+V[]2πr+V[]2πr

≥2πbρ33[]2r2·V[]2πr·V[]2πr=6πbρ3[]V2[]2π .

當2r2=V[]2πr，即r=1[]4·V[]πr=1[]4h時等號成立，A取得最小值，這樣，r與h之比

是1∶4，用料最少.

設想3：從勞動力的“經濟”來考慮問題，如果罐頭的焊縫最短，則花的勞動力最小，設計比較合理.設罐頭筒的底半徑為r，高為h，容積為v，則焊縫的長

L=2（2πr ）+h=4πr+V[]πr=2πr+2πr+V[]πr≥33[]4πV

當且僅當2πr=V[]πr，即h=2πr·πr2[]πr=2πr時，焊縫最短，勞動力最經濟.

圖3設想4：從美學角度出發思考，把“黃金分割”用于設計罐頭筒，使人看起來比較美觀，設圓柱體的底面積半徑為r，高為h，考慮它的軸截面是黃金矩形，如圖3.

設E是AB的黃金分割點，EB=2r，AE=h-2r，則

（2r）2=（h-2r）h，即4·r2[]h=1-r[]h，

解這個關于r[]h的一元二次方程得r[]h=5-1[]4.

所以r，h滿足r[]h=5-1[]4時，罐頭筒較美，自然是合理的一種設計.

設想5：對小孩來說，設計罐頭筒，底半徑應小一點，因為小孩的手相對小一些，而對大人，手相對大一點，罐頭筒的底半徑應大一些，那么，應選擇怎樣的尺寸使得大人、小孩捏起來都比較舒服？

對設想5，當學生請教老師如何解決時，教師承認自己也解決不了，于是師生討論決定，先到市場上做一下調查，或請教設計罐筒頭的專家，并就上面的各種設想進行比較，哪一種設計比較實用，再定一個時間繼續研究.

研究性學習的開展需要有合適的載體，而數學開放題作為研究性學習的載體，滿足了學生求知欲望，充分調動了學生學習數學的積極性，使學生創造潛能得到了極大的發揮.實踐證明，數學開放題用于研究性學習是合適的.

3.通過社會實踐來開展研究性學習

在數學研究性學習中，社會實踐是重要的獲取信息和研究素材的渠道.在新的教學大綱中，對通過社會實踐來開展研究性學習都提出了明確的要求，比如在必修課和選修課中設置了實習作業和研究性課題，教師要根據大綱的要求，認真組織，積極引導.例如，“研究性課題：分期付款中的有關計算”＼[高一（上）數學新教材（試驗修訂本）P133＼]，我們是這樣組織教學的：

（1）社會調查：將全班同學分成若干個小組，到商品房售房處、銀行、保險公司、汽車城等走訪詢問，現場考察，并索取商家資料，通過調查，同學們獲得了大量分期付款的信息資料，如“調查購房”小組獲得了購房的各種辦法，付款的多種方式等等.

（2）課堂探究：由每組選出一名同學（組長），在班上介紹調查基本情況，并舉一個分期付款的實例進行分析，從數學模型的建立、分期付款的操作、數學知識的應用、探究的結論及成果、有待進一步探究的問題等幾方面進行闡述.

（3）撰寫研究報告.

從社會實踐到數學課堂，他們通過對社會生活中“分期付款的有關計算”的探究，其深度和廣度超出了教材的范圍，學到了課堂中所學不到的知識；他們深入社會，學習與人交往，培養了社交能力；他們要了解情況，學習收集信息，也培養了處理信息的能力.

通過社會實踐來開展研究性學習，除了教材中規定的實踐作業和研究性課題外，教師還要特別重視引導學生關注身邊的數學，用數學的眼光來審視客觀世界中豐富多彩的現象，并選取專題進行研究性學習，使他們深切感受數學在日常生活及社會各個領域中的廣泛應用.

4.通過改革課后作業來開展研究性學習

課后作業是教學的一個重要環節，應不斷優化和改造，其中對傳統作業中重基礎抓落實等的好傳統和好經驗必須繼續堅持和發揚，同時還要通過作業環節來培養學生的創新意識和創新能力.筆者認為，在課后作業的環節中開展研究性學習就是一個好的方法，那么怎樣在課后作業的環節中來開展研究性學習？

（1）增加“提出一個新的問題”的作業

鼓勵學生針對當天數學課的內容提出一個新的問題，它可以是學生發現的新問題、新解法和新結論，也可以是提出疑問并陳述自己的觀點等等.這樣做至少有兩點好處：（1）有利于培養學生養成勤于思考、善于總結的良好習慣；（2）有利于培養學生的創新意識和能力.它給學生提供了發表新觀點，探索新方法，發現新問題的良好機會.

（2）增加“調查式作業”