說說數(shù)軸那點(diǎn)事

張菊紅

【摘要】 數(shù)軸并不是一條具體的“軸”，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，數(shù)軸就像是幫助我們認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)的一個(gè)媒介，數(shù)軸的使用把數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合到了一起，利于我們的學(xué)習(xí). 對(duì)于數(shù)軸的認(rèn)識(shí)，除了“原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度”這三要素之外，你還認(rèn)識(shí)多少呢？本文就來談?wù)勱P(guān)于數(shù)軸的幾個(gè)方面. 【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)軸；實(shí)數(shù)

一、數(shù)軸與距離

例1 如圖1所示，數(shù)軸上的A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離是_______（用含m，n的式子表示）.

分析 題目所求的A，B兩點(diǎn)之間的距離，是最常見的一種有關(guān)數(shù)軸的問題，距離就是兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度AB = OA + OB，那么我們必須要先確定OA和OB的長(zhǎng)度，再求和. 通過數(shù)軸可以直觀地看出，m在原點(diǎn)的左邊m < 0，n在原點(diǎn)的右邊n > 0，因此，OA的實(shí)際長(zhǎng)度就是-m，而OB的長(zhǎng)度正好就是n，兩線段之和OA + OB = -m + n，也就是線段AB的長(zhǎng)度為n - m. 實(shí)際上，距離也可以看成是兩數(shù)之差，也就是兩實(shí)數(shù)m和n之差. 在這里要注意的就是，距離是一個(gè)實(shí)在的數(shù)，必須是一個(gè)大于零的數(shù)，求差的時(shí)候必須要大數(shù)減小數(shù)，而n在m的右側(cè)，n > m，因此，AB = n - m.

二、數(shù)軸與數(shù)的大小

例2 實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖2所示，那么下面大小關(guān)系正確的是 （ ）.

A. -a < a < -1 B. -a < -1 < a

C. a < -1 < -a D. a < -a < -1

分析 在數(shù)軸上的點(diǎn)，越靠右越大，右邊的實(shí)數(shù)大于左邊的實(shí)數(shù)，從圖中可以看到，a在-1和0的左邊，a < 0，a < -1.那么，我們還需要判斷-a的大小，a和-a是互為相反數(shù)，分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，且a與-a到原點(diǎn)的距離是相等的. 因此可以得出，-a > 0，-a > 1. 這也告訴我們，比較大小不能僅僅是看字母前面是否有負(fù)號(hào)，有負(fù)號(hào)的不一定就是負(fù)數(shù)，要綜合考慮該實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，才能真正比較出字母所表示的實(shí)數(shù)的大小. 所以，這道題應(yīng)選C.

三、數(shù)軸與數(shù)值

例3 a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的位置如圖3所示，那么下列關(guān)系中正確的是 （ ）.

分析 這道題的選項(xiàng)中給出的是一些不等式，而要判斷這些不等式，就必須要先判斷出實(shí)數(shù)a，b的大小. 但從給出的示意圖中，我們是不可能得出確切的數(shù)，仔細(xì)觀察這些不等式就發(fā)現(xiàn)，其實(shí)解決這個(gè)問題并不需要我們求出a，b這兩個(gè)實(shí)數(shù)的具體值，只要能確定這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大致范圍和符號(hào)，就能判斷出選項(xiàng)中不等式的正誤. 從圖中可以看到，a，b兩數(shù)在原點(diǎn)的兩側(cè)，異號(hào)，0 < a < 1，b < -1.比如說A選項(xiàng)，異號(hào)兩數(shù)相加，符號(hào)就取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，b與原點(diǎn)的距離大于a與原點(diǎn)的距離，b的絕對(duì)值大于a的絕對(duì)值，所以取負(fù)號(hào). 因此A錯(cuò)誤. B選項(xiàng)大數(shù)減去小數(shù)，差大于0. C選項(xiàng)異號(hào)兩數(shù)相乘，積還是負(fù)數(shù). D選項(xiàng)異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù). 因此可以得到正確答案D.

四、數(shù)軸與位置

A. 點(diǎn)P B. 點(diǎn)Q C. 點(diǎn)M D. 點(diǎn)N

五、數(shù)軸與對(duì)稱

綜上所述，通過幾種關(guān)于數(shù)軸的不同題型，我們可以觀察到，圍繞數(shù)軸的問題最重要的就是要掌握數(shù)軸的概念和意義，明確數(shù)軸以及數(shù)軸上的點(diǎn)表示的是什么，結(jié)合有理數(shù)的加減運(yùn)算進(jìn)一步理解數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離. 數(shù)軸是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn). 它可以說是抽象的，而另一方面又是具體形象的，涉及的內(nèi)容雖然不多，但卻靈活多變. 學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容，死記硬背是行不通的，要深入理解才能學(xué)會(huì)變通. 教師在教學(xué)中更是要注重學(xué)生們對(duì)知識(shí)的理解，打好學(xué)習(xí)基礎(chǔ).