基于極值理論與蒙特卡洛模擬的商業銀行操作風險度量研究

陳寶東 劉學娟 邸浩

[摘 要] 本文以商業銀行操作風險的度量為研究目標，以操作風險高級計量法的思想為導向，運用極值理論及銀行的損失分布情況對操作風險進行量化研究。極值理論注重模擬收益或損失分布的尾部，而操作風險存在明顯的厚尾現象，所以極值理論可以比較有效地解決在操作風險數據較少的客觀條件下如何計量操作風險的問題。文章闡述了如何運用極值理論對操作風險求取在險價值（VaR），且在已有現實數據的情況下，引入蒙特卡洛模擬法擴展數據并進行實證分析，使得所求VaR值更加精確。

[關鍵詞] 操作風險； 極值理論； 蒙特卡洛模擬； VaR

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 06. 043

[中圖分類號] F832.3； F224 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）06- 0070- 04

1 引 言

操作風險是指由不完善或有問題的內部程序、員工和信息科技系統，以及外部事件所造成損失的風險，包括法律風險，但不包括策略風險和聲譽風險[1]。中國銀監會于2012年6月7日正式下發了《商業銀行資本管理辦法》，明確提出了操作風險資本將計入銀行資本充足率，操作風險成為繼信用風險和市場風險之后的又一大風險被加以重視。《商業銀行資本管理辦法》第一百八十條提出銀監會于2008年10月制定的《商業銀行操作風險監管資本計量指引》的可行性，《指引》規定了新資本協議銀行和自愿實施新資本協議的其他商業銀行計量操作風險監管資本的要求，也規定了操作風險資本計量的3種方法：標準法、替代標準法、高級計量法。其中標準法和替代標準法是針對操作風險管理水平較為初級的銀行，而高級計量法則為國際活躍銀行和操作風險管理水平較高的銀行所偏重，其風險敏感度也更高[2]。所以，對商業銀行高級計量法進行研究有重要的理論和現實意義。

關于高級計量法，常見的有以下3種具體的方法：內部計量法、損失分布法以及記分卡法，其中，損失分布法的在商業銀行操作風險計量中應用最為廣泛。但是，操作風險數據具有明顯的厚尾特征，普通的分布不能較好地反映這一厚尾性質，而在沒有充分考慮操作風險厚尾性而進行計量時，往往得到的結果不準確。對于商業銀行來講，操作風險尾部的損失計量和管理尤為重要，因為這些是低頻高危事件的反映區間，銀行需要建立更為牢靠的操作風險管控措施，才有可能抵御能夠造成重大損失的風險事件。因此，對操作風險尾部數據的研究尤為重要。極值理論能很好地處理厚尾分布的問題，所以，利用極值理論來衡量低頻高危的操作風險損失事件尤為適合，且已引起銀行風險研究者的重視[3-6]。

本文在介紹極值理論模型的基礎之上，進一步分析說明搜集的操作風險損失數據情況，并利用QQ圖證明所獲取數據的厚尾性，從而明確了極值理論模型在本文數據基礎上的適用性，并選取相應的閾值，將數據進行篩選并計算風險價值。我國操作風險數據的一個重要特征是數據量少以及數據搜集較為艱難，因為有些操作風險的損失事件沒有被記錄，或者涉及到銀行自身的保密性，想要得到支撐模型計算的數據尤為艱難。所以，在搜尋到的實際數據量較為有限的情況下，本文就所得的真實數據進行蒙特卡洛模擬，利用模擬擴展得到的數據以及極值理論模型計算出操作風險的風險價值。

2 極值理論模型介紹

2.1 Peaks Over Threshold模型

極值理論模型中最常見的方法是POT（Peaks Over Threshold）模型，POT模型是對觀察值中超過某一給定閾值的數據進行建模，由于模型能夠充分利用尾部信息，從而可以減少經典VaR方法低估操作風險所可能帶來的損失。下面對POT模型進行介紹：

POT模型刻畫的是隨機變量X超過某個閾值u的分布。設隨機變量X的分布是F（x），u為一個閾值，Y = X - u為超過閾值的隨機變量，其分布函數為：

Fu（y） = P（X - u ≤ y | X > u） y ≥ 0 （1）

根據條件概率公式我們可以得到：

Fu（y） = ■ = ■ x ≥ u

？圯 F（x） = Fu（y）（1 - F（u）） + F（u） （2）

由Pickand-Balkema-deHaan定理可知，當閾值u充分大時，Fu（y）收斂到廣義帕累托分布Gξ，σ（y）：

Fu（y） ≈ Gξ，σ（y） = 1 - 1 + ■y-1/ξ ξ ≠ 01 - e-y/σ ξ = 0 u→∞ （3）

式中，ξ是形狀參數，當ξ = 0時，帕累托分布即是指數分布；當ξ > 0時，帕累托分布是一種重要的厚尾分布。

2.2 厚尾性判斷——QQ圖法

因為POT模型中的數據默認為具有厚尾特征，我們需要對所選的數據進行驗證是否具有厚尾特征，從而分析是否可用POT模型進行進一步計算。

令X1，X2，…，Xn為一列獨立同分布的隨機變量，并且用X1，n > X2，n >，…，> Xn，n表示這列隨機變量的一個排序，QQ圖被定義為以下點集：

Xk，n，F-1■？搖，k = 1，2，…，n （4）

其原理是基于經驗分布以及假設分布的擬合比較，如果這個假定的分布能夠較好地擬合數據，那么QQ圖將顯示為近似線性。因此，QQ圖可以用來比較多個選定的參數分布對數據的擬合程度從而選擇擬合最好的分布。分布的尾部特征也能在圖形中得到檢驗，如果分布具有厚尾特征，圖形則會在右端向上彎曲，基于此可以判斷數據的厚尾特征。

2.3 閾值的選取——Hill圖

極值理論閾值u的選取可以利用Hill圖進行計算：

令X（1） > X（2） > … > X（n）表示獨立同分布的順序統計量。尾部指數的Hill統計量定義為：

Hk，n = ■■ln■ （5）

Hill圖定義為點（k，H-1k，n）構成的曲線，選取Hill圖形中尾部指數的穩定區域的起始點的橫坐標K所對應的數據Xk作為閾值u。

2.4 風險險價值計量

基于帕累托分布，對于給定的一個樣本{x1，…，xn}，對數似然函數L（ξ，σ | y）可以表示為：

L（ξ，σ | y） = -nlnσ - 1 + ■■ln1 + ■yi ξ ≠ 0-nlnσ - ■■yi ξ = 0 （6）

當u確定以后，利用{x1，…，xn}，根據公式（6）進行最大似然估計得到 ■ 和 ■。同時，我們得到{x1，…，xn}中比閾值u大的個數，記為Nu，F（z）在x > u時的表達式：

F（x） = Fu（y）（1 - F（u）） + F（u）

= ■ 1 - 1 + ■（x - u） -1/ξ+ 1 - ■■（1 - e-（x - u）/σ） + 1 - ■

= 1 - ■1 + ■（x - u） -1/ξ ξ≠01 - ■e-（x - u）/σ ξ = 0 （7）

對于給定某個置信水平p，可以由F（x）的分布函數公式（7）可以得到：

VaRp = u + ■■p - 1 ξ≠0u - σln■p ξ = 0 （8）

ESp = VaRp + E（X - VaRp | X > VaRp）

根據GPD的條件分布函數公式可以得到：

ESp = VaRp + ■ = ■ + ■ （9）

3 數據情況及實證分析

由于實際中搜集數據的困難性，文中不能只針對某一家銀行的數據進行分析計量，所以，選取了11家銀行的2005-2011年所搜集到的操作風險數據進行統一分析。摘抄其中部分數據如表1～2所示。

3.1 損失頻率以及損失金額分布擬合

以操作風險損失頻率常見的泊松分布為例，利用表1中的數據，使用極大似然法估計泊松分布的參數為：1.09，圖1為損失頻率數據的直方圖以及估計出來的泊松分布圖。

以操作風險損失頻率金額常見的對數正態分布為例，使用極大似然法估計該分布的參數：均值為6.25、方差為2.67，圖2為損失金額數據的直方圖以及估計出來的對數正態分布圖。

3.2 蒙特卡洛模擬

根據損失頻率分布和損失強度分布，使用Monte Carlo模擬算法來模擬年累計損失分布，模擬1 000次，得到1 000條年累計損失（由于篇幅有限，文中只給出部分結果），如表3。

3.3 數據分析及計算結果

由蒙特卡洛模擬得到的1 000個數據，我們分別畫出QQ圖和Hill圖，如圖3～4所示，可以看出數據具有一定的厚尾分布，且閾值在Hill圖趨近于平穩的情況下，大概可以取9 000作為閾值，然后利用公式（6）～（9）給出風險價值的近似值344 931.4萬元。

4 結 論

本文通過對現有實際數據的初步分析，進行蒙特卡洛模擬對數據進行擴展，然后分析數據的性質并進行風險價值的計算，用清晰明了的步驟進行了分析說明。本文僅限于極值理論的單純應用，也可以將極值理論方法、損失分布方法、蒙特卡洛模擬以及連接函數對操作風險計量進行更進一步的研究，可以劃分業務條線以及對數據分段分別進行建模并整合計算。且越來越多的研究者認為可以將操作風險和銀行內部控制等進行整合研究，進一步提升商業銀行操作風險的管理能力，我們也會在現有理論的基礎之上，結合實際情況，研究更有實際價值的操作風險計量方法。

主要參考文獻

[1] 中國銀行業監督管理委員會. 商業銀行資本管理辦法[S]. 2012.

[2] 中國銀行業監督管理委員會. 商業銀行操作風險監管資本計量指引[S]. 2008.

[3] 徐明圣. 極值理論（EVA）在金融機構操作風險建模中的應用與改進[J]. 數量經濟技術經濟研究，2007（4）：76-83.

[4] 吳恒煜，趙平. 我國商業銀行操作風險的度量[J]. 山西財經大學學報，2009，31（8）：109-115.

[5] 陳倩. 基于極值理論的商業銀行操作風險度量研究[J]. 中國管理科學，2012（20）：332-339.

[6] 張文，張屹山. 應用極值理論度量商業銀行操作風險的實證研究[J]. 南方金融，2007（2）：12-15.