巷道圍巖應力空間分布仿真分析

唐治 潘一山 李忠華 王麗

摘要：為得出巷道圍巖應力空間分布特征，以圓形斷面巷道為例，采用復變函數方法得出其應力解，并把映射空間解轉化為巷道所在空間解后對巷道周圍巖體應力場進行仿真分析，得出了巷道周圍巖體應力場分布直觀圖，可方便直觀的了解巷道圍巖任意位置應力分布情況。并考慮不同半徑、不同側壓系數對圍巖應力場的影響，得出了：圓形巷道圍巖應力峰值及其出現方向與半徑無關；側壓系數小于1/3時，頂底板開始產生拉應力，大于3時兩幫圍巖開始產生拉應力；以及環向、徑向、剪切應力及最大、最小應力的變化規律。

關鍵詞：圓形巷道；復變函數；應力空間分布；計算仿真

中圖分類號：U451文獻標志碼：A文章編號：16744764（2014）03003707

Simulation Analysis of Spatial Distribution

of Roadway′s Surrounding Rock Stress

Tang Zhia,Pan Yishana,Li Zhonghuaa,Wang Lib

(a.School of Mechanics and Engineering;

b.College of Mechanical Engineering,Liaoning Technical University,Fuxin 123000,Liaoning,P.R.China)

Abstract:To get the spatial distribution characteristic of roadway's surrounding rock stress, circular section roadway was taken as a case study. The solution of stress was got by using complex function method, and roadway's surrounding rock stress field was analysed after the solution of mapping space was transformed into the solution of roadway space. As a result, the visual diagram of stress field distribution of roadway's surrounding rock was obtained, which could describe intuitively stress distribution of roadway's surrounding rock at any position. Considering the influence of different radius and side pressure coefficients on surrounding rock stress field, the following conclusions have been obtainded: the peak value and direction of circular roadway's surrounding rock stress has nothing to do with the radius; when side pressure coefficient is less than 1/3,the roof can produce tensile stress; when side pressure coefficient is more than 3, the surrounding rock in two sides can produce tensile stress. And the change rule of hoop stress, radial stress, shear stress and the maximum and minimum of stress have also been generated.

Key words:scircular roadway;complex function; spatial distribution of stress; computational simulation

隨煤礦采深不斷增加，巷道圍巖穩定性在煤礦開采工程中越來越重要，巷道圍巖應力分布特征是研究圍巖穩定性和安全性的基礎，目前針對巷道圍巖應力分布的研究方法主要有井下現場觀測、實驗室實驗、數值模擬和理論研究等。巷道圍巖應力理論解析雖然對問題進行了簡化，但對解析結果分析得出的規律性認識對研究圍巖應力分布有重要意義，為此，眾多學者展開了大量研究，且取得了不少成果［14］。

對圓形和橢圓形斷面巷道用Cauchy積分法或冪級數法均可求得解析函數［57］，用這兩種方法對復雜斷面則不易求解。復變函數被引入平面彈性問題后能得出復雜斷面應力解析解［810］，現階段對映射函數的研究相對成熟［1113］。王潤富［14］、劉金高等［15］利用復變函數法對馬蹄形和梯形孔口的應力進行分析,湯澄波等［16］利用復變函數法對高地應力區天幕線拱形硐室斷面圍巖應力解析，但均得出隱函數解析式。趙凱等［17］為簡化計算,利用多角形法得出映射函數且只取3項映射函數求解了矩形硐室圍巖應力。祝江鴻［18］用復變函數求出了表示任意斷面圍巖應力的兩個解析函數通式。呂愛鐘等［1920］、張路青等［21］將被積函數用一個新的級數來代替進行解析。

〖=D(〗唐治，等：巷道圍巖應力空間分布仿真分析〖=〗然而這些研究一般只給出映射空間應力表達式，或只對巷道邊界應力分布進行分析，對巷道周圍不同位置巖體的受力情況缺乏全面深入直觀的了解。所以，以圓形巷道為例，采用復變函數方法得出其應力解，并把映射空間解轉化為巷道所在空間解，對巷道周圍巖體應力場進行仿真分析，可以方便直觀的了解巷道圍巖任意位置應力分布情況，并考慮不同半徑、不同側壓系數對應力場的影響。

1巷道圍巖彈性應力解析

11模型建立

根據復變函數和平面彈性力學理論可知，復變函數可對復雜孔口平面問題求解。所以，以最簡單的圓形巷道為例來闡述巷道圍巖應力場的復變函數解法。圓形斷面巷道計算模型如圖1所示，設圓形巷道半徑為r0。模型無支護阻力，不計體力，遠場鉛垂應力為σv，水平應力為σh=kσv，k為側壓系數。

圖1巷道分析模型

12公式推導

以圓形巷道中心為原點，建立直角坐標系，采用無限大彈性體單孔口問題的一般變換函數形式z=ω(ζ)=R1ζ+∑nk=0ckζk把圍巖在z平面上（即xy面上）所占的區域變換為平面上的所謂“中心單位圓”上（它的圓心在坐標原點=0，而半徑等于1）。在大多數情況下，級數中只須取很少幾項就足夠精確，因是計算最簡單的圓形巷道［22］，所以取n=0，c0=0，R為實數，則可得出保角變換公式為z=Rζ。

圓形斷面巷道圍巖應力公式推導思路如下：

第1步：將z=x+iy，ζ=ρeiφ代入保角變換公式可得出

x2+y2=R/ρ2（1）

ρ=1時對應z平面上圓形巷道邊界，即r=r0，所以R=r0，得保角變換公式為

z=ω(ζ)=r0/ζ（2）

在z平面上角度以順時針為正，在ζ平面上角度以逆時針為正。

由式（2）可得：ω(ζ)，ω′(ζ)，ω(ζ)，ω′(ζ)，ω(ζ)/ω′(ζ)，ω(ζ)/ω′(ζ)，ω(σ)，ω′(σ)，ω(σ)，ω′(σ)；ω(σ)/ω′(σ)，ω(σ)/ω′(σ)。

第2步：遠場鉛垂應力為σv、水平應力為σh=kσv，Xs、Ys分別為外力在巷道邊界處的水平方向力、垂直方向力；Px、Py分別為巷道邊界處的水平方向邊界力、垂直方向邊界力。因無支護阻力，所以Xs=Ys=0，Px=Py=0，則可確定邊界條件f0。

f0=－r0σv（1+k）/σ+1－kσ/2（3）

f0=－r0σv1+kσ+（1－k）/σ/2（4）

第3步：把φ0(ζ)=∑+∞k=1akζk、φ′0(ζ)=∑+∞k=1kakζk－1及式（2）推導結果代入

φ0(ζ)+12πi∫σω(σ)ω′(σ)φ′0(σ)σ－ζdσ=12πi∫σf0σ－ζdσ和ψ0(ζ)+12πi∫σω(σ)ω′(σ)φ′0(σ)σ－ζdσ=12πi∫σf0σ－ζdσ可得：

φ0(ζ)=－r0σv1－kζ/2（5）

ψ0(ζ)=－r0σv1+kζ+1－kζ3/2（6）

第4步：由Px=Py=0，φ(ζ)=αω(ζ)+φ0(ζ)，ψ(ζ)=α1+iβ1ω(ζ)+ψ0(ζ)，可得出：

φ(ζ)=r0σv（1+k）/ζ－21－kζ/4（7）

ψ(ζ)=r0σv（1－k）/ζ－1+kζ－1－kζ3/2（8）

第5步：由式（8）可得出Φ(ζ)=φ′(ζ)/ω′(ζ),Φ′(ζ)，Ψ(ζ)=ψ′(ζ)/ω′(ζ)。即可得圓形斷面巷道圍巖應力分量的曲線坐標表達式

σφ/σv=（1+k）(1+ρ2)/2+

（1－k）(1+3ρ4)cos 2φ/2（9）

σρ/σv=(1+k)(1－ρ2)/2－

(1－k)(1－4ρ2+3ρ4)cos 2φ/2（10）

τρφ/σv=－(1－k)1+2ρ2－3ρ4sin 2φ/2（11）

在z平面上直角坐標為(x,y)，極坐標為(r,θ)，即x=rcos θ，y=rsin θ。由保角變換得：r=r0/ρ，θ=－φ 。然后代入式（9)~(11），得z平面上極坐標表示的巷道圍巖應力分量表達式：

σθ=1+k21+r20r2+1－k21+3r40r4cos 2θσv（12）

σr=

1+k21－r20r2－1－k21－4r20r2+3r40r4cos 2θσv（13）

τrθ=1－k21+2r20r2－3r40r4sin 2θσv（14）

得出結果與傳統應力函數解法結果一致，這也說明了復變函數解法求解巷道圍巖應力場的可行性，為進一步求解非圓形巷道圍巖應力場提供參考。

2算例

以下分析把σr/σv、σθ/σv、τrθ/σv、σmax/σv、σmin/σv分別定義為徑向、環向、剪切、最大主應力、最小主應力的應力集中系數。

21巷道邊界應力計算與分析

把r=r0代入式（12)~(14）可得出圓形巷道邊界應力為：σr=0，τrθ=0及

σθ=1+k+21－kcos 2θσv（15）

由式（15）可知：圓形巷道邊界的徑向應力和剪切應力為零，環向應力隨側壓系數k和位置角度θ的變化而變化，與巷道半徑無關。

不同側壓下巷道邊界環向應力在不同角度的分布如圖2所示。

圖2圓形巷道邊界應力分布規律

由式（15）及圖2可知：

1）當k=1時，巷道圍巖環向應力集中系數為2，為壓應力，與角度θ無關。如2σv<03σc（σc為巖塊抗壓強度），圍巖處于穩定，不會出現巖射和巖層剝落破壞，巷道不用支護。

2）當0

3）當k>1時，從巷道兩幫到頂底板應力逐漸增大；頂底板中部應力最大，最大集中系數為3k－1，隨k增大而增大；巷道兩幫中部應力較小，最小應力集中系數為3－k，隨k增大而減?。籯>3時兩幫圍巖開始產生拉應力；13時，巷道兩幫巖體先被壓壞或頂底板巖體先被拉壞。

4）在30°、150°、210°、330°時，應力集中系數為2，與側壓系數大小無關。

22巷道沿鉛垂線θ=π/2的應力計算與分析

因圓形巷道頂底板或兩幫應力較為集中，所以考慮不同側壓和半徑對兩幫及頂底板應力影響。以半徑為25 m的巷道在不同側壓系數下沿鉛垂線θ=π/2的應力分布為例研究側壓系數對圍巖應力影響，應力分布規律如圖3所示。以側壓系數為4的情況下對不同巷道半徑沿鉛垂線θ=π/2的應力分布為例研究半徑對圍巖應力影響，應力分布規律如圖4所示。圖3、4中應力集中系數是指圖1中巷道頂板上方的一行黑色單元的受力情況。正為壓應力，負為拉應力。

圖3沿鉛垂線應力分布規律

由圖3可知：

1）巷道頂板環向應力峰值隨側壓的增加而增加，隨離巷道距離增加而減小，最后趨于側壓力。側壓系數較小時，巷道頂板產生拉應力。環向應力對巷道影響范圍一般在1~15 m，隨側壓增大而增加。

2）側壓系數較小時，徑向應力隨離巷道距離增加而增加，最后趨于遠場鉛垂應力。側壓系數較大時，垂直應力隨離巷道距離增加先增后減，最后趨于遠場鉛垂應力。

圖4不同半徑下應力分布規律

由圖4可知：

1）巷道頂板環、徑向應力峰值與半徑無關。但徑向應力峰值距巷道邊界距離隨離半徑增大而增加。巷道半徑越大，圍巖受影響范圍越大。

2）不同巷道半徑的環、徑向應力變化規律相似，隨距巷道邊界距離增加，環向應力集中系數減小，徑向應力先增后減。

3巷道圍巖應力分布特征

31不同側壓系數下圍巖應力分量分布特征

以圓形巷道中心為原點，建立直角坐標系，巷道高方向為y軸，寬方向為x軸，巷道圍巖單元在xy平面上對應點為（x=rcos θ,y=rsin θ）。取巷道半徑25 m為例，代入式（12)~(14）可得巷道圍巖在不同側壓系數下的應力集中系數表達式。體力不計情況下，側壓系數小于1可等效為是把側壓系數大于1模型旋轉90°，因此只分析側壓系數大于1的情況，對側壓系數為2和4為例進行分析，得出不同位置圍巖應力分布如圖5所示。

從圖5可知：

1）可以直觀看到不同側壓下巷道圍巖任意位置的應力分量大小情況。

2）各側壓系數下環向、徑向、剪切應力均分別有相同的變化規律。

3）相同半徑上的圍巖環向應力從頂底板到兩幫逐漸減小，頂底板環向應力峰值隨側壓系數增大而增加；側壓系數較大時，兩幫環向應力為拉應力。

4）相同半徑上的圍巖徑向應力從頂底板到兩幫有逐漸增大趨勢。頂板上方和底板下方，一定范圍內隨離巷道距離增加，徑向應力有先增后減變化規律。兩幫隨離巷道距離增加徑向應力增加。

5）相同半徑上的圍巖剪切應力絕對值從兩幫到頂底板有先增后減變化規律，在直線x=±y上剪切

圖5圍巖應力分量分布規律

應力絕對值最大，x、y軸上最小。

32不同半徑下圍巖應力分量分布特征

取側壓系數為4，以巷道半徑25、35 m為例進行分析，得出不同位置圍巖應力分布，半徑為25 m的應力分布情況如圖5（a）（c）（e），半徑為35 m的巷道應力分布如圖6所示。由圖5、6可知：圖6圍巖應力分量分布規律

1）可以直觀看到不同半徑巷道圍巖任意位置的應力分量大小情況。

2）巷道圍巖環向、徑向、剪切應力峰值及其變化趨勢與半徑無關。

3）隨半徑增加，巷道兩幫徑向、環向應力較小范圍、頂底板環向應力較大范圍、峰值距巷道邊界距離、圍巖受影響范圍均增加。

4）徑向、環向應力有對稱變化特征，剪切應力有反對稱特征。

33圍巖極值應力分布特征

把式（11）~（13）代入極坐標向直角坐標變換公式，得

σx=σrcos2θ+σθsin2θ－2τrθcos θsin θ，

σy=σrsin2θ+σθcos2θ+2τrθcos θsin θ，

τxy=(σr－σθ)cos θsin θ+τrθ(cos2θ－sin2θ)。

然后把σx、σy、τxy代入平面應力狀態的極值應力求解公式

σmax

σmin=σx+σy2±σx-σy2+τ2x

可求得圓形巷道圍巖任意位置的最大、最小應力。以側壓系數為1、4，半徑25、35 m的圓形巷道為例分析，結果如圖7所示。

由圖7可知：圖7極值應力分布

1）可以直觀看到巷道圍巖任意位置的應力大小情況。

2）側壓系數為1時，相同半徑圓環上巖體的最大、最小應力分別相同，即應力只與離巷道中心距離大小有關，與位置無關。隨測壓系數增大，頂底板的最大應力最大，兩幫最小，巷道附近相同半徑圓環上巖體的最大應力從頂底板到兩幫逐漸減小。

3）巷道圍巖最大、最小應力峰值及其出現方向與半徑無關。

4結論

1）采用復變函數法得出了圓形巷道應力場解析表達式，并對巷道邊界應力及頂板上方巖體應力進行了分析。并對不同側壓系數及不同半徑下的巷道周圍巖體應力場進行了仿真分析，得出了巷道周圍巖體應力場分布的直觀圖像，可以直觀看到巷道圍巖任意位置的應力分布情況。

2）k<1/3時頂底板開始產生拉應力，k>3時兩幫圍巖開始產生拉應力，1/3

3）側壓系數均大于1或小于時，各側壓系數下環向、徑向、剪切應力均分別有相同的變化規律。

4）巷道圍巖應力峰值及其出現方向與半徑無關。

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