柯西不等式推論的應用

寧紀獻 覃發(fā)崗

摘要：對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然后給出了其推論的應用。

關鍵詞：不等式；應用；柯西不等式

1.引言

柯西不等式[1]是數(shù)學中一個非常重要的不等式，它結構對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛.它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應用.

2.柯西不等式的推論

2.1柯西不等式的基本形式

柯西不等式已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，則∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n時等號成立.

2.2柯西不等式的推論

下面給出它常見的四個推論.

推論1[2]設a1，a2，…，an是實數(shù)，則n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2，等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

推論2[2]設a1，a2，…，an是正實數(shù)，則∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2，等號成立當且僅當a1=a2=…=an.

推論3[3]已知aii=1，2，…，n是正數(shù)，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，則

∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.

推論4[3]已知aii=1，2，…，n是正數(shù)，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，則

∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.

3.主要結果

3.1應用推論一

例1已知：x1，x2，…，xn∈R，滿足

x1+x2+…+xn=aa>0，且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2，n∈N，

求證：0≤xi≤2ani=1，2，…，n.

證明由x1+x2+…+xn=a得，a-xn=x1+x2+…+xn-1，由推論一得，

a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n

故（a-xn）2a2-（n-1）x2n，所以0xn2an。

由x1，x2，…，xn的對稱性，有0≤xi≤2ani=1，2，…，n.

3.2應用推論二

例2非零實數(shù)a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=1，求證：

y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1

有最小值并求之。

解a1+a2+…+an=1由，得

a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1

同理可得

a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2

an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.

將上面n個等式相加得：

a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n

=22-a1+22-a2+…+22-an

即

y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai（其中i=1，2，…，n）.

又因為，故由推論二可得

∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.

所以有yn2n-1，等號當且僅當a1=a2=…=an=1n時成立，所以y有最小值n2n-1.

3.3應用推論三

例3求證：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a，b，c為ΔABC的三邊。

證明：設x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，

因為a，b，c為ΔABC的三邊，所以x>0，y>0，z>0且x+y+z=a+b+c，即

xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。

故

a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z

=1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c，

則由推論三得

a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c（上轉第282頁）

（a+b+c）2=a+b+c，

故原不等式得證.

3.4應用推論四

例4已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求證：a3+b3+c3≥a2+b2+c23

證明：由于正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，故由推論四可得：

a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2

≥3·13a+13b+13c2

=3·a+b+c32

=13，

而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2，故由推論四可得

a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2

=a2+b2+c22

=a2+b2+c2a2+b2+c2.

綜上所述，a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得證.（作者單位：云南大學數(shù)學系）

參考文獻：

[1]謝躍進.柯西不等式應用探討[J].銅仁職業(yè)技術學報（自然科學版）.2008，6（6）：59.

[2]蔡玉書.應用柯西不等式證明競賽中的不等式[J].數(shù)學通訊，2010（4）：58.

[3]歐華.柯西不等式的兩個推論[J].數(shù)學大世界，2002（9）.