加強例題反思 培養解題能力

黃秋蘭

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數學教學中，解題反思是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應成為教學反思的一個重要內容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關鍵詞】反思；例題教學；培養；解題能力

例題教學是數學教學的重要組成部分和環節。通過例題教學，讓學生學會運用所學數學知識去解答數學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數學的一個重要途徑，它直接影響到學生數學解題能力和數學思維能力的培養。因此，加強數學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數學教學要培養學生思維的廣闊性和創造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應用舉例”的5個例題后，啟發學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發現什么？在教師的引導下，同學們發現這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據正好是剛學過的銳角三角函數的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內角互補”，想到通過轉移一個內角，從而使三個內角構成一組同旁內角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構造一組同旁內角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內在的本質特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養他們的聚合性思維，同時，也激發了學生對探索知識內在規律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結論反思

在解題結論中形成新的知識組塊，可以提高學生數學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質特征進行反思，發現此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現，就應該有上述結論。通過對題目本質的領悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯想多項式乘法，有理數乘法、有理數乘方等知識，有依據、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發了學生的探究興趣，培養了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數學活動的核心和動力。總之，數學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數理化》2010年第9期

[2]《初中數學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數學教學中，解題反思是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應成為教學反思的一個重要內容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關鍵詞】反思；例題教學；培養；解題能力

例題教學是數學教學的重要組成部分和環節。通過例題教學，讓學生學會運用所學數學知識去解答數學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數學的一個重要途徑，它直接影響到學生數學解題能力和數學思維能力的培養。因此，加強數學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數學教學要培養學生思維的廣闊性和創造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應用舉例”的5個例題后，啟發學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發現什么？在教師的引導下，同學們發現這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據正好是剛學過的銳角三角函數的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內角互補”，想到通過轉移一個內角，從而使三個內角構成一組同旁內角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構造一組同旁內角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內在的本質特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養他們的聚合性思維，同時，也激發了學生對探索知識內在規律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結論反思

在解題結論中形成新的知識組塊，可以提高學生數學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質特征進行反思，發現此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現，就應該有上述結論。通過對題目本質的領悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯想多項式乘法，有理數乘法、有理數乘方等知識，有依據、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發了學生的探究興趣，培養了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數學活動的核心和動力。總之，數學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數理化》2010年第9期

[2]《初中數學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數學教學中，解題反思是一個知識小結、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應成為教學反思的一個重要內容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關鍵詞】反思；例題教學；培養；解題能力

例題教學是數學教學的重要組成部分和環節。通過例題教學，讓學生學會運用所學數學知識去解答數學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數學的一個重要途徑，它直接影響到學生數學解題能力和數學思維能力的培養。因此，加強數學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數學教學要培養學生思維的廣闊性和創造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應用舉例”的5個例題后，啟發學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發現什么？在教師的引導下，同學們發現這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據正好是剛學過的銳角三角函數的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內角互補”，想到通過轉移一個內角，從而使三個內角構成一組同旁內角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構造一組同旁內角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內在的本質特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養他們的聚合性思維，同時，也激發了學生對探索知識內在規律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結論反思

在解題結論中形成新的知識組塊，可以提高學生數學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質特征進行反思，發現此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現，就應該有上述結論。通過對題目本質的領悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯想多項式乘法，有理數乘法、有理數乘方等知識，有依據、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發了學生的探究興趣，培養了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數學活動的核心和動力。總之，數學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數理化》2010年第9期

[2]《初中數學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）