數學猜想的運用和引導

姚其江

摘 要 本文從中考中的數學猜想題引入，分析了數學猜想在教學中的運用，探討了初中數學教學中數學猜想的引導方法，對培養學生的猜想能力，進而培養學生的創造性思維能力作了一定的研究。

關鍵詞 初中數學 數學猜想 運用引導

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）05-0075-03

數學猜想，是指根據已知的事實和數學知識，對未知量及其關系做出的一種判斷。它既含有邏輯成分，又含有非邏輯的成分。因此他具有一定的科學性和很大程度的假定性，可以真也可以假。數學猜想對數學發展起著重要的推動作用，在數學發展的幾千年長河中，許多重要定理是由數學家們通過實驗、歸納、大膽提出猜想，再對猜想或證明其結論的正確性，或通過尋求反例推翻它。如歷史上著名的費爾馬猜想、四色猜想、歐拉猜想、哥德巴赫猜想等等。這些猜想，有的已經獲得了圓滿解決，有的至今仍吸引著數學家們為尋求答案而進行著艱苦的攀登（如“哥德巴赫猜想”）（1742年），在探求這些猜想解決的征途上，使一個又一個數學分支，一種又一種數學新方法相繼誕生，推動了數學科學研究的長足前進，可以說，沒有猜想，就沒有科學的進步。

猜想，是一種高層次的思維活動，是數學發現過程中的一種創造性思維。進行數學猜想，是培養學生創造能力的重要途徑，因此，我們在教學中必須十分重視運用猜想和引導學生進行數學猜想。

先從中考中的一種重要的題型——數學猜想題說起。

一、中考中的數學猜想題

近幾年來各地中考試題中出現了一些數學猜想題，這對學生掌握以雙基和建立良好的思維品質，培養學生的創新精神有重要的促進作用。

下面列舉一些地區的^中考試卷中的猜想型試題。

1.根據給出的已知規律，猜想問題的結論

這類題型是指問題中給出幾個具體的關系式（有的這類關系可通過特例探求得出），要求通過對這些關系式的考察、實驗、分析、對比、歸納，猜想出一般規律，并進行運用或證明。

例1.觀察下列各式：

==2，==3.==4

你能得到怎樣的結論？并給出證明。結論：

==n，（n>1的整數）。證略。

2.根據問題給出的條件，猜想出問題的結論，并給出證明

這類問題一般是給出條件，而結論不確定或不唯一，其目的是讓學生根據題目所提供的各種信息去探求相應的結論，也就是我們平常所說的“執因索果”，這類問題的一般思路是，從所給條件（包括圖形特征）出發，進行探索、歸納，大膽猜想出結論，然后對猜想的結論進行證明。

（1）結論的發散性

例2.已知⊙O內切四邊形ABCD，AB=AD，連結AC，BC，由這些條件你能推出哪些結論？（要求：繪出工整的圖，不寫畫法，圖中除A，B，C，D，O五個字母外，不再標注其他字母，不再添加任何輔助線，不寫推理過程，推出五條結論給滿分，推出六條以上者應給予加分。）（2009年寧波中考題）

（2）結論的穩定性

例3.如圖3，已知：AD是圓的直徑，BC切圓于D，AB，AC與圓分別相交于E，F，那么顯然有結論；AE·AB= AF·AC。

如果直線BC向上平移，使它與圓相交于兩點，而AB，AC與圓的交點仍分別是E和F，如圖3（2），在此條件下，AE·AB=AF·AC是否成應？若成立，請予證明；若不成立.，請說明理由。（2011年杭州市中考題）

（3）結論的存在性

例4.已知點A（-1，-1）在拋物線y= （k2-l）x2-2（k-2）x+1上。（1）求拋物線的對稱軸；（2）若點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，問量否存在與拋物線只交于一點B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在，說明理由。（2011年嘉興中考題）

（4）結論的隱蔽性

例5.若⊙O1、⊙O2、⊙O3，……都經過點A和B，點P是線段AB延長線上任一點，從點P向⊙O1、⊙O2、⊙O3，……各圓作切線，切點分別為C1，C2，C3……，（1）請你判斷這些切點怎樣的幾何圖形上；（2）請證明你得到的結論。（2010年蘇州市中考題）。

（5）結論的不定性

例6.如圖4，已知等邊△ABC的面積為S，⊙O是它的外接圓，點P是BC弧的中點。（1）試判斷過點C所作⊙O的切線與直線AB是否相交？并證明你的結論，（2）設直線CP為AB相交于點D，過點B作BE⊥CD，垂足為E。證明BE是⊙O的切線，并求△BDE的面積。（2009年廣州市中考題）。

3.根據已知結論，猜想出結論成立的條件。

這類試題是指問題中結論明確，而需要完備使結論成立的條件的題目，它要求學生能掌握基礎知識并進行逆向思維，也就是“執果索因”，解題思路一般是，從所給結論出發，由特殊到一般，經試驗，猜想得出應具備的條件，然后進行證明。

例7.已知：如圖5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E，F分別是AB，AC的中點。（1）EF和AD之間有什么特殊的位置關系？請證明你找到的結論。（2）若四邊形AEDF是菱形，則△ABC滿足什么條件？（2012年常州市中考題）。

答：（1）EF垂直平分AD，證略。

（2）△ABC是等腰三角形（AB=AC）。

二、數學猜想在教學中的運用舉例

從上述中考數學猜想題的例子中，可以看到這類問題形式新穎，題設和結論都具有較大的開放性，思考方向不定，因此，綜合性和邏輯性較強，對學生的觀察、分析、比較、歸納、猜想、推理等諸多能力，適應當代社會的生活、生產和科學發展，有著十分重要的作用。

教學肩負著培養跨世紀人才的重任，最主要的是培養創造性人才，創造性人才的培養，在數學教學中表現為培養學生數學的創造性思維能力。數學教學的實質是進行思維訓練的教學，而“猜想”是一種創造性的思維形式。所以培養學生的猜想能力對數學來說十分重要，著名的數學家波利亞曾經說：“要成為一個好的數學家，……，你必須首先是一個好的猜想家?！弊阋姅祵W教學專家們對猜想能力的肯定與重視。培養學生“猜想”能力絕不是一朝一夕所能辦得到的，它需要我們長期堅持不懈，寓“猜想”能力的培養于平時的教學之中。在教學中，恰當運用猜想，可以促進學生以一個創造者、發明者的身份去探究知識、無疑在心理上將會產生一種極大的滿足和喜悅，從而激發興趣，促進學生主動性。endprint

1.通過類比猜想概念

在概念教學時，要重視概念的形成過程，要了解知識的發現發展過程，要善于引導學生自己動腦筋去發現概念的本質特征，去認識概念間的關系。在學習因式分解概念時，筆者首先讓學生回憶小學質因數分解概念，然后引導學生分析數與式、因數與因式之間的區別與聯系，鼓勵學生去猜想因式分解的概念。

2.通過歸納猜想公式

所說的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說是經驗性的歸納，即通過部分實例推測具有普遍意義的數學性質，這在中學數學中占有重要位置，教材中很多性質、規律等都是這樣歸納出來的。如初中代數“同底數的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經驗歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結論：同底數的冪相乘，底數不變，指數相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學老師可先提出兩個問題。問題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學生用具體數字代入進行試驗得知，兩者不相等，這時教師再提出問題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內應加上一個什么樣的代數式？

當學生對教師提出的問題躍躍欲試的時候，教師趁熱打鐵，引導學生取特殊值進行試驗，找出規律，大膽猜想，經過學生的探索得出猜想：方框內應填上代數式2ab。

經過學生自己發現的公式，無論從思想感情上，還是在學習興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過直觀形象提出猜想

通過直觀形象能讓學生發現問題，提出猜想的內容在初中數學中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見。如，“三角形內角和定理的教學中，讓學生用紙板做一個任意三角形，把它的三個角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學生提出猜想。這樣做既能調動學生的學習積極性，又能使學生發現解決問題的思路，提高教學效果。

（2）在定理、公式的教學時，不能只滿足于結論的證明及應用。而應當鼓勵學生以探索者的姿態出現，去猜想，去探究它們的發現過程。如引導學生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數學教學中，善于運用猜想，激發學生學習興趣，培養思維能力，開發智力方面，應當引起我們的重視。

（責任編輯 全 玲）endprint

1.通過類比猜想概念

在概念教學時，要重視概念的形成過程，要了解知識的發現發展過程，要善于引導學生自己動腦筋去發現概念的本質特征，去認識概念間的關系。在學習因式分解概念時，筆者首先讓學生回憶小學質因數分解概念，然后引導學生分析數與式、因數與因式之間的區別與聯系，鼓勵學生去猜想因式分解的概念。

2.通過歸納猜想公式

所說的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說是經驗性的歸納，即通過部分實例推測具有普遍意義的數學性質，這在中學數學中占有重要位置，教材中很多性質、規律等都是這樣歸納出來的。如初中代數“同底數的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經驗歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結論：同底數的冪相乘，底數不變，指數相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學老師可先提出兩個問題。問題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學生用具體數字代入進行試驗得知，兩者不相等，這時教師再提出問題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內應加上一個什么樣的代數式？

當學生對教師提出的問題躍躍欲試的時候，教師趁熱打鐵，引導學生取特殊值進行試驗，找出規律，大膽猜想，經過學生的探索得出猜想：方框內應填上代數式2ab。

經過學生自己發現的公式，無論從思想感情上，還是在學習興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過直觀形象提出猜想

通過直觀形象能讓學生發現問題，提出猜想的內容在初中數學中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見。如，“三角形內角和定理的教學中，讓學生用紙板做一個任意三角形，把它的三個角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學生提出猜想。這樣做既能調動學生的學習積極性，又能使學生發現解決問題的思路，提高教學效果。

（2）在定理、公式的教學時，不能只滿足于結論的證明及應用。而應當鼓勵學生以探索者的姿態出現，去猜想，去探究它們的發現過程。如引導學生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數學教學中，善于運用猜想，激發學生學習興趣，培養思維能力，開發智力方面，應當引起我們的重視。

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1.通過類比猜想概念

在概念教學時，要重視概念的形成過程，要了解知識的發現發展過程，要善于引導學生自己動腦筋去發現概念的本質特征，去認識概念間的關系。在學習因式分解概念時，筆者首先讓學生回憶小學質因數分解概念，然后引導學生分析數與式、因數與因式之間的區別與聯系，鼓勵學生去猜想因式分解的概念。

2.通過歸納猜想公式

所說的歸納，主要指的是不完全歸納，或者說是經驗性的歸納，即通過部分實例推測具有普遍意義的數學性質，這在中學數學中占有重要位置，教材中很多性質、規律等都是這樣歸納出來的。如初中代數“同底數的冪的乘法法則”的提出，103€譴02= （10€？0€？0）€？10€？0）=l05 23€？2=（2€？€？）€祝？€？）=25，經驗歸納，提出猜想：

∴am·an=am+n

歸納結論：同底數的冪相乘，底數不變，指數相加。又如公式（a+b）2=a2+2ab十b2的教學老師可先提出兩個問題。問題l：（a+b）2和a2+b2相等嗎？學生用具體數字代入進行試驗得知，兩者不相等，這時教師再提出問題2：要使等式（a+b）2=a2+ +b2成 立，方框內應加上一個什么樣的代數式？

當學生對教師提出的問題躍躍欲試的時候，教師趁熱打鐵，引導學生取特殊值進行試驗，找出規律，大膽猜想，經過學生的探索得出猜想：方框內應填上代數式2ab。

經過學生自己發現的公式，無論從思想感情上，還是在學習興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力。

3.猜定理

（1）通過直觀形象提出猜想

通過直觀形象能讓學生發現問題，提出猜想的內容在初中數學中有很多，特別在平面幾何中更是到處可見。如，“三角形內角和定理的教學中，讓學生用紙板做一個任意三角形，把它的三個角按圖中的虛線剪下，并在一起，讓學生提出猜想。這樣做既能調動學生的學習積極性，又能使學生發現解決問題的思路，提高教學效果。

（2）在定理、公式的教學時，不能只滿足于結論的證明及應用。而應當鼓勵學生以探索者的姿態出現，去猜想，去探究它們的發現過程。如引導學生由三角形中位線定理去猜想梯形的中位線定理，由平行線等分線定理去探究平行線分線段成比例定理等。

總之，在初中數學教學中，善于運用猜想，激發學生學習興趣，培養思維能力，開發智力方面，應當引起我們的重視。

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