基于計算思維培養的離散數學教學研究

摘要：在分析離散數學教學內容和計算思維的內在關系基礎上，從教學內容和教學手段兩個方面進行了一定的探索，將計算思維的培養有機地結合到離散數學的教學過程中，對離散數學教學內容所蘊含的計算思維方法進行了提煉。同時，采用歸納學習法和案例驅動教學法開展教學手段改革，適時地將計算思維穿插在離散數學的教學過程中。

關鍵詞：計算思維；離散數學；教學改革

作者簡介：單美靜（1979-），女，遼寧大連人，華東政法大學信息科學與技術系，講師。（上海 201620）

基金項目：本文系華東政法大學“離散數學”重點課程建設項目（項目編號：BR51749）的研究成果。

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）28-0136-02

計算思維[1]是美國卡內基·梅隆大學計算機科學系主任周以真教授在美國計算機權威期刊《Communications of the ACM》雜志上給出的概念，它被公認為近十年來最具有基礎性、長期性的重要思想。計算思維概念一經提出就引起了學術界和教育界廣大學者的深切關注。學術界主要關注的是如何利用計算思維改變傳統的思考問題方式，進而促進相關領域的創新能力培養，而教育界主要關注如何在人才培養過程中加強計算思維能力的培養。近年來，國內外許多計算機教育者對計算思維進行了深入研究。中科院自動化所王飛躍教授率先將國際同行倡導的“計算思維”引入國內，王教授翻譯了周以真教授的《計算思維》一文，[2]撰寫了相關的論文《計算思維與計算文化》。中國科學院計算所李國杰院士提出：“計算思維是運用計算機科學的基礎概念求解問題、設計系統和理解人類行為，它選擇合適的方式陳述一個問題，對一個問題的相關方面建模，并用最有效的辦法實現問題求解。”[3]孫家廣院士在《計算機科學的變革》[4]一文中明確指出：“（計算機科學界）最具有基礎性和長期性的思想是計算思維。”中國科學院計算技術研究所研究員徐志偉總工認為：“計算思維是一種本質的、所有人都必須具備的思維方式，就像識字、做算術一樣；在2050年以前，讓地球上每一個公民都應具備計算思維的能力。”在國外，美國NSF、Purdue、Duke、Princeton和CMU等機構學府對于計算思維都有較多的討論，他們普遍認為計算機專業的核心課程應結合計算思維開設，同時為非計算機專業開設CS導論性質的課程。一些教學實踐工作者將計算思維的思想和概念引入到計算機教學過程，希望以計算思維驅動計算機學科的教學和課程改革。[6，7]

離散數學作為計算機類專業的核心基礎課程，具有知識點散、概念多、理論性強、高度抽象等特點，被廣大師生認為是一門既難教又難學的課程。離散數學教學內容包括數理邏輯、集合論、代數結構和圖論等四部分，它在各學科領域，特別在計算機科學與技術領域有著廣泛應用。從科學計算到信息處理，從理論計算機科學到計算機應用技術，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到認知系統，無不與離散數學密切相關。通過離散數學，不但可以掌握處理離散結構的描述工具和方法，而且可以增強抽象思維，培養嚴謹的邏輯推理能力，為創新型研究打下基礎，對后續的計算機專業課程，比如程序語言、密碼學、數據結構等核心課程，提供了必需的理論基礎。更為重要的是通過邏輯推理、離散結構以及構建模型等方面的學習和研究，可以提高學生的數學思維能力和實際問題求解能力。離散數學本身的課程內容雖然具有一定的聯系，但又自成體系，容易給學生造成各部分內容互不相連的錯覺，從而無法明確該課程學習目的。另一方面，離散數學課程中，定義和定理比較多，抽象難懂，學生一時難以理解和記憶。通過調查發現，大部分計算機專業的學生普遍對離散數學并不感興趣，認為本課程對專業知識和邏輯能力的培養沒什么作用，甚至于有些老師認為該門課程可開可不開，進而壓縮上課課時。因此，如何有效地開展離散數學教學改革是一項非常值得研究的課題。本文在分析了計算思維與離散數學之間的內在關系基礎上，重點探討了如何在教學內容和教學方法兩個方面展開改革以加強學生計算思維的培養。

一、計算思維與離散數學

根據周以真教授的定義，[1]計算思維是運用計算機科學的基本概念來求解問題、設計系統和理解人類行為，包括了一系列廣泛的計算機科學的思維方法。比如，在解釋一個看起來比較復雜的事物時，計算思維通常會采用約簡、轉化、仿真等思維方法；在處理復雜的問題時，通常會采用抽象以及分而治之的思維方法。計算思維采用多視角、最適合的表示方式來表述一個問題，或者對問題的某個特定方面進行建模，從而使問題易于理解和處理。周以真教授認為一個人具備計算思維能力體現在如下幾個方面：給定一個問題，能夠理解其哪些方面是可以計算的；能夠對計算工具或技術與需要解決的問題之間的匹配程度進行評估，能夠理解計算工具和技術所具備的能力以及其局限性；能夠識別出使用新的計算方法的機會；能夠在任何領域應用諸如分而治之等計算策略。

離散數學作為計算機相關專業的一門重要基礎課，它所研究的對象是離散量的結構以及相互間的關系，其內容對后續的數據結構、編譯原理、數據庫原理、人工智能等計算機核心課程都具有非常重要的作用。通過學習離散數學，可以培養和提高學生的抽象思維和邏輯推理能力。而抽象思維和邏輯推理恰恰是計算機科學最常用的思維方法，也可以說是計算思維的核心所在。因此，離散數學教學內容所蘊含的思維方法恰恰體現了計算思維，另一方面，也可以從計算思維所包括的思維方法角度重新審視和梳理離散數學的教學內容，從培養計算思維和解決實際問題兩個角度展開教學內容和教學方法方面的研究，更好地進行離散數學的教學，從根本上解決傳統離散數學教學中所面臨的問題。

二、基于計算思維培養的離散數學教學內容改革

在離散數學的教學中，講授的具體知識點基本都涵蓋了計算思維中其它基本概念和思維方法。比如數理邏輯部分就涵蓋了歸結推理、約簡等常用的思維方法，等價關系涵蓋了軟件測試中常用的樣本點選取的思維方法；代數結構涵蓋了抽象的思維方法。為了更好地展開教學，針對離散數學的教學內容進行了基本概念和思維方法的抽取，并在實際教學過程中將這些計算思維中的方法傳輸給學生。例如，在講解數理邏輯中的歸結推理方法后，將以偽代碼的形式表達其算法，并且鼓勵學生利用LISP語言完成命題邏輯的歸結推理算法。同時，在給出歸結推理算法后，對算法的復雜度、完備性、可終止性等問題進行簡單論述，從而告知學生謂詞邏輯本身是不可判定的。下面兩個表格（見表1、表2）列出了在教學過程中整理出來的部分教學知識點與計算思維的對應關系。限于篇幅，在此不一一闡述。

三、基于計算思維培養的離散數學教學手段改革

在對教學內容進行改革的基礎上，采用何種有效的教學手段展開教學，是能否培養學生計算思維能力的關鍵。在教學過程中，主要采用兩種方法：歸納學習法和案例驅動法。

所謂歸納學習法是通過歸納思維，形成對知識的特點、中心、性質的認識、理解與運用。在教學過程中，講解完具體的教學內容后，都會將其蘊含的計算思維方法進行歸納總結，并利用其蘊含的計算思維方法去解決一個實際生活中的問題，比如：在講解完代數系統部分的內容后，其蘊含的主要計算思維方法就是抽象，從而可以將有理數四則混合運算、實數運算和復數運算等抽象為代數系統。然后，就可以引入面向對象程序語言中的抽象概念，包括類、對象等，很好地將離散數學中的教學內容與學生所熟悉的編程語言有效地結合起來。一方面，加深學生對教學內容的理解，另一方面，學生能夠靈活運用所學的計算思維解釋現實問題。

歸納學習法是從教學內容出發，提煉計算思維，解決現實問題的過程。而案例驅動教學法則是根據現實問題，使用計算思維引出教學內容的過程。在教學過程中，如果突兀地引入具體的教學內容，而不對其應用場景進行闡述，大部分學生都會感覺無法理解。為此，引入了案例驅動教學法。例如，在介紹最短路徑算法時，一般先引入旅行商問題，然后利用抽象的思維方法將一些無關的因素去掉，進而構建出一個抽象圖的形式呈現出來的模型，自然地引入了最短路徑算法。同時在算法介紹過程中，可以對權值所表示的含義進行解釋，既可以表示時間也可以表示路長，從而產生兩種不同的路徑。最后可以讓學生把這一問題推廣到軟件項目管理中關鍵路徑的處理，激發更深層次的思考。在講述歐拉圖的時候，可以類似地展開案例教學法。首先，給出著名的哥尼斯堡七橋問題，然后利用抽象的計算思維方法忽略橋的寬度、距離等無關的因素，從而對哥尼斯堡七橋問題進行建模，自然地得出歐拉圖的定義。

四、結束語

作為計算機相關專業的核心基礎課程，離散數學為計算思維能力的培養提供了一個很好的平臺，也為更好地展開離散數學教學內容的組織和教學方法的改革提供了思路。本文在分析離散數學教學內容和計算思維的內在關系基礎上，從教學內容和教學手段兩個方面進行了一定的探索，將計算思維的培養有機地結合到離散數學的教學過程中。從教學效果和學生反饋來說，都取得了顯著的成效。然而，在加強了計算思維的培養之后，還要求能夠應用新的思維方法解決具體的專業問題，能夠推陳出新，提出新的思維方法。這些方面僅僅依靠離散數學的教學還遠遠不夠，需要將計算思維的培養理念貫穿于各個專業課程的教學過程中。

參考文獻：

[1]Jeannette M.Wing.Computational Thinking[J].Communications of ACM，2006，49 （3）：33-35.

[2]周以真.計算思維[J].中國計算機學會通訊，2007，3（11）.

[3]李國杰.計算思維不僅僅屬于計算機科學家[N].大眾科技報，2009-08-02（B01）.

[4]孫家廣.計算機科學的變革[J].中國計算機學會通訊，2009，2.

[5]廖偉志，李文敬，王汝涼.計算思維在離散數學課堂教學中的應用[J].計算機科學，2008，35（11）.

[6]廖偉志，李文敬，王汝涼.基于培養學生計算思維的任務驅動式“離散數學”教學模式研究[J].學科建設與教學改革，2009，（21）.

[7]李芳，李一媛，楊兵.計算思維在《圖像處理》課程中的實踐及應用[J].計算機科學，2008，35（11）.

（責任編輯：王意琴）