軸線對(duì)端面的垂直度誤差測(cè)量及評(píng)定*

林志熙 周景亮

(福建工程學(xué)院，福建福州350014)

檢驗(yàn)軸線對(duì)端面垂直度的傳統(tǒng)方法，一般將被測(cè)零件的基準(zhǔn)面與檢驗(yàn)平板貼合，推動(dòng)寬座角尺，使寬座角尺長(zhǎng)邊工作面與被測(cè)面的母線接觸，用塞尺檢驗(yàn)?zāi)妇€與寬座角尺長(zhǎng)邊工作面之間的間隙，最大間隙為該母線對(duì)底工作面的垂直度誤差。轉(zhuǎn)動(dòng)被測(cè)零件，按此法測(cè)量若干條母線對(duì)底工作面的垂直度誤差，取其中最大值為該零件的垂直度誤差。這種檢測(cè)方法不符合GB/T 1958—2004規(guī)定的軸線對(duì)端面垂直度誤差定義，只能用于檢驗(yàn)位置精度要求較低的零件，且調(diào)整、測(cè)量效率低。

如何應(yīng)用簡(jiǎn)單方便又符合國(guó)標(biāo)的方法測(cè)量和評(píng)定面對(duì)線垂直度誤差，一直是該研究的研究熱點(diǎn)之一。本文采用光學(xué)分度頭測(cè)量，建立基準(zhǔn)符合最小區(qū)域法、最小二乘法的線對(duì)面垂直度誤差的數(shù)學(xué)模型。按照最優(yōu)化計(jì)算方法的要求，借助于MATLAB，可準(zhǔn)確、快速地求解出基準(zhǔn)平面度誤差及面對(duì)線垂直度誤差值，其結(jié)果完全符合平面度、垂直度誤差的判定準(zhǔn)則要求。

1 數(shù)學(xué)模型

GB/T 1958—2004規(guī)定:定向最小區(qū)域是指按擬合要素的方向包容被測(cè)提取要素時(shí)，具有最小寬度f(wàn)或直徑Φf的包容區(qū)域［1］。在評(píng)定端面對(duì)軸線垂直度誤差時(shí)，首先要確定基準(zhǔn)要素3的方向，即對(duì)基準(zhǔn)提取要素平面度誤差進(jìn)行評(píng)定。然后垂直于基準(zhǔn)要素方向，尋找包容被測(cè)提取要素1時(shí)，具有最小直徑的定向最小區(qū)域包容區(qū)域4。

1.1 建立基準(zhǔn)平面

1.1.1 最小區(qū)域法

根據(jù)［1］規(guī)定，按最小區(qū)域法評(píng)定平面度誤差實(shí)質(zhì)上是尋找被測(cè)實(shí)際平面且距離最短的兩平行平面。基準(zhǔn)平面的一般方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為

設(shè)基準(zhǔn)面上任一測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)為 Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，各測(cè)點(diǎn)到基準(zhǔn)平面的距離為

最小區(qū)域法的目標(biāo)函數(shù) F(A，B，C)=［di］max-［di］min，滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(A，B，C)的(A，B，C)即基準(zhǔn)平面的法向量，且該三元函數(shù)F(A，B，C)的最小值即為平面度誤差。因此基準(zhǔn)平面的評(píng)定就轉(zhuǎn)化為求三元函數(shù)F(A，B，C)的最小值問(wèn)題。

1.1.2 最小二乘法

最小二乘平面是個(gè)理想平面，它使從實(shí)際被測(cè)輪廓上各點(diǎn)到該平面的距離的平方和為最小。因此，最小二乘法的目標(biāo)函數(shù)，即各測(cè)點(diǎn)到最小二乘基準(zhǔn)平面的距離的平方和，其滿足最小化時(shí)，即可求得基準(zhǔn)平面的法向量和平面度誤差值。

1.2 評(píng)定垂直度誤差

1.2.1 最小區(qū)域圓心的確定

當(dāng)對(duì)被測(cè)孔或軸的不同橫截面圓進(jìn)行如圖1所示測(cè)量，在任一截面內(nèi)做等角度采樣，如圖2中所示。O為分度頭回轉(zhuǎn)中心，即坐標(biāo)原點(diǎn)，Δri為該截面測(cè)得的半徑變化量，θi為各被測(cè)點(diǎn)的回轉(zhuǎn)角(i=1，2，…，n)。因此測(cè)點(diǎn)直角坐標(biāo)值xi=(r0+Δri)cosθi，yi=(r0+ Δri)sinθi。其中 r0為基圓半徑(這是個(gè)未知數(shù)，但接近零件的基本尺寸)。

現(xiàn)采用最小區(qū)域圓法確定擬合圓心C(x，y)。各測(cè)點(diǎn)到擬合圓心的距離建立目標(biāo)函數(shù) F(x，y)={MAX(Ri)-MIN(Ri)}，其滿足最小化時(shí)，F(xiàn)(x，y)的(x，y)即為各采樣截面內(nèi)實(shí)際輪廓的符合最小條件的擬合圓心。

1.2.2 確定被測(cè)提取軸線

圖1所示被測(cè)提取中心線1就由各擬合圓心C1，C2，…，Cn連成的空間折線來(lái)體現(xiàn)。

1.2.3 計(jì)算垂直度誤差

確定基準(zhǔn)平面要素3的方向確定后，垂直于基準(zhǔn)要素方向，對(duì)被測(cè)提取中心線1作最小包容圓柱面4，該圓柱面直徑即為垂直度誤差。

假設(shè)理想圓柱面的軸線為L(zhǎng)，L的方向由j、k、q三參數(shù)決定，位置由u、v、g決定，則理想圓柱面的軸線可表示為

橫向截面輪廓上各采樣點(diǎn)C(xi，yi，zi)至軸線L的距離di為

其中方向向量(j，k，q)為前面作確定的基準(zhǔn)平面的法向量(A，B，C)，參數(shù)(u，v，g)即為待優(yōu)化的參數(shù)。令目標(biāo)函數(shù)F(u，v，g)={max(di)}，當(dāng)其滿足最小化的兩倍時(shí)，即為軸線對(duì)端面的垂直度誤差。

2 MATLAB程序設(shè)計(jì)

Matlab 7的優(yōu)化工具箱(Optimization Toolbox)中含有一系列的優(yōu)化算法函數(shù)。用最小條件法、最小二乘法評(píng)定平面度誤差和基準(zhǔn)平面，測(cè)取要素的最小區(qū)域圓心，及定向最小區(qū)域包容區(qū)域的確定，均屬于求解無(wú)約束條件非線性極小值。Fminsearch和Fminunc這兩種函數(shù)均可。當(dāng)維數(shù)不高(本文維數(shù)最多只有三維)時(shí)，只要正確建立目標(biāo)函數(shù)，便有收斂速度比較快，運(yùn)算結(jié)果可靠的特點(diǎn)［2～4］。

筆者開(kāi)發(fā)的評(píng)定軟件，設(shè)計(jì)了可供用戶方便操作的圖形用戶界面［5～6］。用戶可直接在界面上將所測(cè)得的數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的文本框中，選定方法，即可得到基準(zhǔn)要素兩種評(píng)定方法的基準(zhǔn)提取要素平面度誤差以及被測(cè)提取要素垂直度誤差評(píng)定結(jié)果。該軟件計(jì)算精度高，直觀明了，實(shí)用性強(qiáng)。

3 測(cè)量實(shí)例

用光學(xué)分度頭對(duì)一工件進(jìn)行實(shí)際測(cè)量，如圖3所示。在光學(xué)分度頭工作臺(tái)上加裝一垂直導(dǎo)向定位塊，該定位塊通過(guò)定位鍵與光學(xué)分度頭的T形槽連接。移動(dòng)杠桿千分表，從圓心開(kāi)始向外每15 mm測(cè)量端面變化量，共測(cè)量3個(gè)截面，在每個(gè)截面上每轉(zhuǎn)過(guò)45°由指示表在測(cè)量輪廓上測(cè)取相應(yīng)的端面變化量。然后在工件圓柱上相鄰15 mm截取5個(gè)截面，每個(gè)截面每轉(zhuǎn)過(guò)45°測(cè)取相應(yīng)的半徑變化量，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

將測(cè)量數(shù)據(jù)輸入系統(tǒng)界面，選擇基準(zhǔn)要素的評(píng)定方法，分別計(jì)算出基準(zhǔn)要素采用最小區(qū)域法評(píng)定的平面度誤差為8.4296μm，垂直度誤差為2.0801μm;最小二乘法評(píng)定的平面度誤差為9.0207μm，垂直度誤差為1.7708μm。其中最小區(qū)域法求出的平面度誤差值最小，符合國(guó)標(biāo)規(guī)定。進(jìn)而求出的符合定向最小區(qū)域的垂直度誤差值，可作為發(fā)生爭(zhēng)議時(shí)進(jìn)行仲裁的依據(jù)。最小區(qū)域法計(jì)算界面如圖4所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研制的基準(zhǔn)符合最小區(qū)域法、最小二乘法的線對(duì)面垂直度誤差計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。可同時(shí)滿足基準(zhǔn)平面度誤差和軸線對(duì)端面垂直度誤差的求解。通過(guò)測(cè)量實(shí)例，證明此系統(tǒng)的可靠性。

1 中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 1958—2004:產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)形狀和位置公差檢測(cè)規(guī)定.北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2005.

2 張志涌.精通MATLAB6.5版［M］.北京:航空航天大學(xué)出版社.2003.

3 飛思科技產(chǎn)品開(kāi)發(fā)中心編著.MATLAB 7基礎(chǔ)與提高［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005(9)

4 ［美］Gerald Recktenwald著，伍衛(wèi)國(guó)，方群，張輝等譯.數(shù)值方法和MATLAB實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社.2002:207～229

5 王默玉，宗偉，劉春磊等.基于MATLAB的圖形用戶界面的構(gòu)造方式與應(yīng)用［J］.現(xiàn)代電力.2002，19(1):76 ～78

6 梁輝.MATLAB制作圖形用戶界面的應(yīng)用［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào).2003，21(4):403 ～407