用殘缺題導引學生探究

盧良芳

摘要：數學課堂要充分體現“自主合作、交流共享”的生態課堂理念，教師要營造互相激發、共同參與、質疑探究的濃郁的學習氛圍，實現師生在不知不覺中共同發展、持續發展與和諧發展的課堂追求。本文通過一道殘缺題的修補、解答、拓展、探究，展示了學生參與課堂、小組合作的全過程。

關鍵詞：殘缺題；生態課堂；工程問題

中圖分類號：G421文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）08-070-2一、教學背景

2009年10月，張家港市教育局黃大龍副局長申報了2009年教育部立項課題“新課程背景下生態課堂案例研究”，并獲得批準。我校有幸成了課題組的研究成員單位，從此，我校的課堂教學隨之發生了根本的變化。從形式上主要實現了三方面的轉變（1）教師的教學由注入式教學向啟發式教學轉變；（2）學生由被動聽課向主動參與轉變；（3）課堂教學單純的知識傳授向智能并重轉變。最終的目標是達到課堂是高效益的課堂、生態的課堂。2012年10月，在一次課題成果匯報活動中，課題組安排我上一節生態課堂的展示課，要求能充分體現“自主合作、交流共享”的生態課堂的理念，營造互相激發、共同參與、質疑探究的濃郁的學習氛圍，實現師生在不知不覺中共同發展、持續發展與和諧發展的課堂追求。

二、教學設計

根據當時的教學進度，我安排了一堂初一年級的應用題的教學課，課題是《用一元一次方程解決問題》——工程問題。

1.教學目標

知識與技能

理解工程問題中工作量、工作時間、工作效率三者之間的關系，嘗試用一元一次方程解決有關工程類問題。

過程與方法

學生經歷小組討論，自行觀察、操作、思考，組內交流，全班展示等活動，充分感受數學建模的過程和思想，提高分析問題和解決實際問題的能力。

情感、態度與價值觀：

學生通過參與師生活動、生生活動等教學環節，養成良好的學習習慣、學習態度以及合作意識。進一步體會數學來源于生活，服務于生活的道理，提升學習數學的興趣以及運用數學的意識。

2.問題提出

上課后，我出示了如下問題：

課外活動時李老師來教室布置作業，有一道題只寫了“在我市某城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標。經測算：甲工程隊單獨完成這項工程需要60天，乙工程隊單獨完成這項工程需要90天。”就因校長叫他接聽一個緊急電話而暫時離開教室，留下的殘缺題你能幫他補齊嗎？

請你們四人一組開展討論，提出你們的問題。

三、教學過程

對于題型1，班內一名男生一下子設需x小時完成，從而引出方程，出乎意料，我及時表揚了他。我又問他：“你是根據什么列出方程的呢？”，從而由“工作量=工作效率×工作時間”而引出表格：工作效率工作時間工作量甲工程隊160xx60乙工程隊190xx90根據等量關系很容易的得到了方程x60+x90=1，從而解得x=36。

對于題型2，小組內的討論非常熱烈，各小組內部以及小組與小組之間產生了不同意見，探究活動就此展開。（1）有哪個工程隊先做？（2）先做多少天？

在充分討論的基礎上，各組達成共識：（1）分兩種情況討論；（2）先做30天。

于是就出現了如下問題：

①在我市某城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標。經測算：甲工程隊單獨完成這項工程需要60天，乙工程隊單獨完成這項工程需要90天。若由甲工程隊先做30天，那么，余下的工程由甲、乙兩個工程隊合作做還需要幾天才能完成？

問題呈現以后，各小組很快進行了解答。交流、展示后，問題很快得到了解決。

簡解①：設甲、乙兩個工程隊合作做還需要x天才能完成，則

30×160+（160+190）x=1，解得：x=18（天）。

②將“若由甲工程隊先做30天”改為“若由乙工程隊先做30天”，那么工期會變長還是變短？相差多少天？

我給出這個問題，希望學生能很快將①的簡解過程進行修改，從而得到正確的結果。

簡解②：若由乙工程隊先做30天，設甲、乙兩個工程隊合作做還需要y天才能完成，則30×190+（160+190）y=1，解得：y=24（天）。

因此，工期會變長，相差6天。（問題的解決十分順利，探究的效果初步體現。）

對于題型3。有了題型2的鋪墊，各小組之間的意見格外統一：兩個工程隊合作30天，再比較由甲工程隊單獨完成的天數與由乙工程隊單獨完成的天數的差。于是我給出了如下問題：

在我市某城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標。經測算：甲工程隊單獨完成這項工程需要60天，乙工程隊單獨完成這項工程需要90天。現在先由甲、乙兩個工程隊先合作做30天。若設余下的工程由甲工程隊單獨完成需要x天，由乙工程隊單獨完成需要y天，求y-x的值。

讓我更加以外的是課堂內氣氛一下子活躍起來，班級內大多數同學都希望上黑板去展示，于是我選擇了一位成績中等的同學和一位成績相對后進的同學上去板演，他們都很快完成了：

30×（160+190）+x60=1，解得：x=10，30×（160+190）+y90=1，解得：y=15，所以y-x=5。

四、教學中的意外

正當我對上面三個題型及其解法進行小結時，有一位學生舉手后提出了這樣一個問題：如果完成這項工程的工程款是180萬元，應該如何分配呢？

此時，教室里就象一口炸開了的鍋，學生七嘴八舌，熱鬧非凡，場面一時有點失控。我思考片刻，馬上把學生安靜下來，和學生細細分析開來，課堂進入了“對話”狀態。

教師：“各小組討論一下，你們認為以怎樣的標準來分配？”

教師：“甲工程隊單獨做一天與乙工程隊單獨做一天，如果所得報酬相同，公平嗎？”

學生1：“因為甲工程隊單獨完成這項工程需要60天，乙工程隊單獨完成這項工程需要90天，因此以工作時間分配是不合理的。”

學生2：“甲工程隊的工作效率160，乘上他們工作時間就是甲工程隊的工作量，甲工程隊的工作效率190，乘上他們工作時間就是乙工程隊的工作量。我認為應該按工作量來分配。”

（全班鼓掌，一致同意）

教師：“請各小組計算一下，問題1中180萬元的工程款，應該如何分配呢？”

……

教師：“值得表揚，計算一步到位了，而且很正確。對于問題3中180萬元的工程款，應該如何分配請大家課后去完成。”

五、教師的追問

教師：“過程問題除了工作效率、工作時間和工程款以外，還有一個就是工期問題。如果上面探究的問題必須在60天之內完成，你怎么安排甲、乙兩個工程隊來完成這項工程呢？”

學生6：“甲工程隊單獨來做，正好60天完成。”

學生7：“甲、乙兩個工程隊先合作做幾天，余下的工程由甲工程隊單獨完成，肯定能在60天之內完成。”

教師：“甲、乙兩個工程隊先合作做幾天，余下的工程由乙工程隊單獨完成，肯定能在60天之內完成嗎？”

學生8：“不一定。”

教師：“那么至少需要合作做幾天，才能在60天之內完成呢？”

學生9簡解：甲、乙兩個工程隊先合作做x天，余下的工程由乙工程隊單獨完成，并且正好60天完成。則（160+190）x+190×（60-x）=1，解得x=20。

所以甲、乙兩個工程隊至少需要合作做20天，余下的工程由乙工程隊單獨完成，肯定能在60天之內完成。

教師：“非常好，這為同學用方程來求解，確定一個“極限”值，然后再下結論。”（鈴聲響起）“我們能否用一點簡單的不等式知識直接去求解呢？課后請自己思考。”

六、教學后的反思

1.本節課的教學內容從一道殘缺題出發，由學生主動“創造”出問題，通過小組討論、交流，又把問題進行了深化，再根據已有知識經驗解決問題。由于學生的學習過程是按照自己已有的知識和經驗建構的，從而使學生在能力上得到較大發展。充分體現人人學有價值的數學，不同的人在數學上得到不同的發展理念。其實同類型的題目我們平時接觸的還很多。例如：（1）在四邊形ABCD中，已知：AB∥CD，請補充條件（寫一個即可），使四邊形ABCD為平行四邊形。（2）若四邊形ABCD為平行四邊形，請補充條件（寫一個即可）的四邊形是菱形。這類題目解題思路類似于“分析法”，逆推其條件。當滿足結論的條件不唯一時，要對條件成立的可能性適當分類，分別探索出結論成立的條件。

2.合作學習的優點充分發揮出來。通過殘缺題讓學生先思考甚至討論而提出問題，讓每個學生不僅可以直接參與，而且還可以充分發表自己的觀點，并可以自己動手、動腦或在老師的幫助下解決問題。這不但增加了學生參與學習的機會，而且增強他們對學習的興趣，提高他們的學習能力，讓他們接受不同的觀點，促進思維的發展。由于每個成員都積極參與到學習活動中，學習任務由大家共同分擔，集思廣益，各抒己見，人人都盡其所能，問題就變得容易解決。這樣的學習不僅將學生個體間的學習競爭關系改變為“組內合作”、“組際競爭”的關系，還將傳統教學中的師生之間單向或雙向交流改變為師生、生生之間的多向交流，還將學生課內學習延伸到課外，拓寬了學生學習的空間。有利于增進學生的感情，培養學生的人際交往能力。有利于培養學生的自學能力和組織能力，提高學習效率。

3.開放性問題引入課堂，使學生的探究活動成為可能，極大地調動學生思維的積極性。每個學生都有獲得成功的欲望，通過殘缺題的添補與解答，使學生的這種欲望得以實現，思維處于高度活躍狀態，往往會出現意想不到的效果。學生可以廣開思路，展開聯想，八仙過海，各顯神通，從而發展學生的發散思維能力，培養學生的創新能力和創造性。

4.通過實際問題的教學，使學生學數學、用數學，關注生活中的數學問題。數學的知識本來就來源于生活，所以數學教學應該貼近生活。數學基于生活但又高于生活。數學不只是生活的簡單“復制”和“粘貼”，而是對生活的再加工。學習數學不僅是生活的需要，同時也是學習本身的需要。在教學中不僅注重數學問題生活化，同時也應注重生活問題數學化。就目前數學教改現狀而言，數學的生活化已受到越來越多的關注。

5.經過十年的教改，我能體會到：真正的課堂教學已不是學生配合、適應老師，而是老師要積極探求適合學生自主發展的教學方法。在課堂教學中，教師要樹立“以人為本，主動發展”的教學理念，創設問題情境，積極開展探究性學習、合作學習，為學生提供自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，使課堂教學成為學生自主探究、合作交流的過程，以培養學生良好的思維習慣和創新意識。