創設思維情境 展示思維過程

宋秀云

【摘 要】思維情境的創設、思維過程的展示是新課程數學教學的重頭戲。教師應緊緊抓住教學中“概念形成”“公式推導”“解題”三個基本環節，根據每個環節中教學內容呈現和思維活動的特點，科學地、靈活地創設思維情境、展示思維過程，以達到在形成數學概念、培養數學能力中提升思維能力和思維品質的目的。

【關鍵詞】數學教學 思維情境 思維過程 創設 展示 提升

“數學課程應注意提高學生的數學思維能力”，這是《普通高中數學課程標準》列出的十大課程目標之一。《課標》闡述道：“人們在學習數學和運用數學知識解決問題時，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、演繹證明、反思與建構等思維過程，這些過程是數學思維能力的具體體現?！笨梢姡诟咧袛祵W教學中關注和研究思維過程及其教學措施，是高中數學教學的應有之義。

從另一個角度看，基礎教育新課程將“過程與方法”列為課程教學的“三維”目標之一，也凸顯了學習過程、思維過程在整個動態教學體系中的重要地位。

展示數學思維過程是數學課堂教學中的重要指導原則，通常稱為過程性原則。真實的數學思維過程是知識的發生和形成過程，它包括概念的形成過程；問題被發現的過程；規律被揭示的過程；方法的探索、思考和形成過程；結論推導和證明過程。這些過程往往蘊含著數學的一些重要的思想方法。展示這些過程讓學生細心體會與領悟，揭示出已知的知識與新知識之間的內部聯系，往往是喚起學生學習興趣的捷徑，激發思維的源泉。因此，課前教師應根據過程性原則和“最近發展區”規律，圍繞如何創設和再現知識的發生、發展和形成這個思維過程，創造性地設計教學程序。本文擬結合教學實際作一些探討。

一、概念形成教學中思維情境的創設和思維過程的展示

數學中每個重要概念的引入與定義，幾乎都歷經觀察、比較、分析、抽象、概括、創造等漫長過程，盡管教學中不可能完全重復前人漫長的探索過程，但若抓住方法的精神實質，精心組織、設計、創設和再現適當的思維過程，引導學生領悟形成概念的方法，就可以使多數學生在學習過程中處于興奮狀態，增強學生的內在活力，使學生成為自覺主動學習的主體。

現以“兩條異面直線所成角”這一概念形成過程為例，作如下教學設計讓學生展開思維。

1.演示模型，提出問題。

平面上兩條相交直線可用它們所成的角的大小來描述，那么空間兩條異面直線也可形成大小不同的“角”嗎？如何尋找一個合適的量來刻畫兩條異面直線之間的傾斜程度呢？

2.逐步形成概念，創設如下過程。

（1）平面上兩條直線相交就構成角，而兩條異面直線不相交，哪來的“角”呢？如何規定兩條異面直線所成的角呢？

（2）能用兩條相交直線所成的角來確定兩條異面直線所成的角嗎？

3.啟動思維，形成概念。

引導學生自主思考實現“降維”目的，預設學生可能得到下三種方案（如圖1）：

方案一：作a′∥a且a′與b相交而得；

方案二：作b′∥b且b′與a相交而得；

方案三：在空間任取一點O′，作a′∥a、b′∥b、a′與b′相交而得。

圖1

4.思維辨析，定義概念。

通過對三種方案的分析，異面直線a，b所成的角似乎有很多個了，究竟哪個是直線a，b所成的角呢？為什么？啟發學生根據等角定理的推論，說明這些角都相等，這樣作出的角都合理，且是唯一的。選方案三作為定義就水到渠成了。

5.分析概念，為形成“方法”作準備。

兩條異面直線所成的角與角的頂點O的位置選取無關。運用時，可把點取在兩條異面直線中的某一條上，要找到兩條異面直線所成的角，關鍵是經過平移，把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的銳角（或直角）來解決。

二、公式教學中思維情境的創設和思維過程的展示

數學公式的教學首先要使學生掌握公式的推導方法，而這個方法的思考過程，教材上通常會把它濃縮。在實際教學中教師應將思維過程給以展示，引導學生發現公式，揭示規律，并多角度探索思路給以證明。

例如等比數列的前n項和公式的推導，教材上采用錯位相減法，即在和式的基礎上乘以公比q（q≠1）后，兩式相減達到消項求和。對此，學生往往不易想到，也是教學的難點。為突破這一難點，可開展如下思維過程。

先引導學生得出an=al+alq+alq2…+alqn-1……①

然后引導學生通過歸納，猜想出公式：

因為Sl=al，S2=a1（1+q），S3=a1（l+q+q2）=■（q≠1），進而得到S1=■，S2=■，S3=■，…于是猜想：Sn=■（q≠1）②

Sn=na1（q=1）③

如何證明這個公式呢？教師啟發學生用分析法，欲證②式成立，只需證Sn（1-q）=a1（1-qn）成立。至此“錯項相減”的思路已初見端倪，證明過程唾手可得。同時，也訓練了學生運用歸納推理發現規律的重要數學思維方法。

∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-l

=a1+q（a1+a1q+a1q2+...+a1qn-2）

=a1+qSn-1

∴Sn=a1+q（Sn-an）

∴Sn（1-q）=a1-anq

若q≠1時，Sn=■=■

若q=l時，Sn=na1

通過思維過程的展示，學生嘗試到探索過程的愉悅，對“錯項相減法”的領悟得到提升。

三、解題教學中思維情境創設和思維過程的展示

在解題教學中，特別是一些思維性強、抽象程度高的習題，離學生現有思維水平較遠，思維鏈條斷裂，學生難以接受，實際教學中應創設一個新問題，使新問題的解決能為原問題的求解鋪平道路，這樣的新問題在解題理論中稱為“中途點”，再由“中途點”導航，探索新的思維，逐步向解題目標靠攏。

例如在高一年級講解：已知f（x）=lg（x2-2x+a）（a是實常數）的值域是R，求a的取值范圍。對高一學生來說，往往受思維定勢影響，誤認為y=lg（x2-2x+a）的值域為R與x2-2x+a>0恒成立等價，為糾正這一錯誤思路，創設如下新問題，激發學生思維。

問題1：y=lgt，當t∈[0，10]時值域還是R嗎？

問題2：函數y=lg（x2+2x+11）的值域能為R嗎？為什么？

問題3：函數y=lg（x2+2x-3）的值域能為R嗎？為什么？

學生通過對這三個問題的思考，問題2與3中兩個函數類似，而其中一個值域能為R，另一個不能為R，原因在哪里呢？學生的思維結構產生碰撞，激發了求真探索的欲望，教師適時地給予點撥，這樣通過創設新問題1、2、3，把思維過程給以展示，原問題的求解就變得輕而易舉、唾手可得了。

從上述分析討論中可以看到，思維情境的創設與思維過程的展示不但是疏通學生思維、有效解決具體教學課題的需要，更是培育和提升學生思維能力和思維品質的必要手段。因此，應當注意將思維過程的展示與提升靈活而有效地融入每一堂數學教學課中。

（作者單位：江蘇省新海高級中學）