特征值與特征向量研究性教學(xué)設(shè)計(jì)

摘要：研究性教學(xué)實(shí)施關(guān)鍵問題在于教學(xué)設(shè)計(jì)，針對方陣的特征值與特征向量的重要性及其特點(diǎn)，教學(xué)過程設(shè)計(jì)就問題情境的創(chuàng)設(shè)、問題的探索性、結(jié)論的應(yīng)用與拓展性進(jìn)行設(shè)計(jì)，圍繞方陣的特征值與特征向量的求解方法與技巧展開探索，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)研究能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；研究性教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2013）01-0192-03

特征值與特征向量是重要的線性代數(shù)概念，在工程領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。例如工程技術(shù)中的振動(dòng)問題和穩(wěn)定性問題，往往歸結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值與特征向量，特征值與特征向量的有關(guān)理論也常常用于討論線性微分方程的求解問題[1]。這些都說明方陣的特征值與特征向量具有實(shí)際意義和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，而且概念很抽象，其性質(zhì)具有探索性，適合運(yùn)用研究性教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主探索能力與創(chuàng)新能力。本文在已有的理論研究基礎(chǔ)上，結(jié)合我校大學(xué)公共數(shù)學(xué)研究性教學(xué)實(shí)踐，主要就研究性教學(xué)過程設(shè)計(jì)展開研究，并在學(xué)生的合作參與下，對方陣的特征值與特征向量研究性教學(xué)案例進(jìn)行了實(shí)踐研究。

一、問題情境的創(chuàng)設(shè)

通過矩陣及與矩陣相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)到矩陣的運(yùn)算是非常重要的，但是矩陣的運(yùn)算往往比較復(fù)雜麻煩，如何簡化矩陣的運(yùn)算及相關(guān)問題是一個(gè)值得研究的問題。

引例：計(jì)算

通過計(jì)算讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并自主探索。

猜想1：對任意的正整數(shù)n有：

思變：對以上矩陣中元素稍作改變，再讓學(xué)生計(jì)算，一般來說，上述結(jié)論就不成立了。

問題1：對于滿足什么條件的矩陣與向量能使上述結(jié)論成立？

猜想2：設(shè)A為n階方陣，x為n維非零列向量，λ為實(shí)數(shù)，如果Ax=λx，那么就有Anx=λnx.

問題2：對于n階方陣A，滿足條件Ax=λx的λ和x怎么求？

問題3：對于n階方陣A，滿足條件Ax=λx的λ和x具有什么性質(zhì)？

二、問題探索

通過以上問題分析，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)感性認(rèn)識(shí)到結(jié)論的正確性，關(guān)鍵的工作是要對以上猜想進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

探索1：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法易證猜想1與猜想2的正確性，問題1得到解決，并給出方陣的特征值與特征向量的概念。

探索2：通過化歸變形解決問題2。

三、問題小節(jié)

1.由引例探討引出了特征值與特征向量的概念，歸納特征值與特征向量的性質(zhì)，認(rèn)識(shí)了解特征值與特征向量能簡化矩陣運(yùn)算的有關(guān)問題。

2.通過對問題的探究找到了求特征值與特征向量的一般方法，但由于過程麻煩，繼續(xù)探究后，發(fā)現(xiàn)了行列互逆變換求特征值與特征向量的簡捷方法。

3.矩陣行列互逆變換對角化的計(jì)算方法與技巧。

四、特征值與特征向量的應(yīng)用與素質(zhì)拓展

1.了解特征值與特征向量在矩陣運(yùn)算和工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用情況，學(xué)生通過查閱有關(guān)資料完成特征值與特征向量應(yīng)用的總結(jié)報(bào)告。

2.通過查閱資料加強(qiáng)對行列互逆變換求特征值與特征向量方法的理論認(rèn)識(shí)，完善猜想3，并進(jìn)行理論證明。

3.指導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)資料，嘗試其他求特征值與特征向量的方法。

五、結(jié)束語

特征值與特征向量是線性代數(shù)的重要概念，相關(guān)內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛，研究方法靈活多變；概念本身具有實(shí)際背景意義，問題的探究解決有利于培養(yǎng)學(xué)生的研究能力與創(chuàng)造能力，相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)新精神。總之，特征值與特征向量科學(xué)有效地采用研究性教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究能力與創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]牛莉.線性代數(shù)（第二版）[M].北京：中國水利水電出版社，2009.

[2]向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，（3）：135-138.