一階線性微分方程教學中的一點體會

摘要：通過對一個一階線性微分方程組的求解，既讓學生能夠掌握簡單的一階線性微分方程組求解方法，又可以讓學生較好地體會到《線性代數》課程的重要性。

關鍵詞：一階線性微分方程組；特征值；特征向量；線性變換

中圖分類號：G642.1 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）19-0168-01

本學期，由于課程設置的調整，部分新生第一學期就開始學習《線性代數》這門課程了。在和他們交談的過程中，部分學生反映這門課程沒有什么作用，內容上主要是一些具體的運算，比如：計算行列式的值，計算矩陣的和、積、逆，求方陣的特征值、特征向量以及將方陣對角化等等。好像與實際應用一點關聯也沒有。

事實上，《線性代數》是一門非常重要的課程，其在很多專業課程中都有廣泛的應用，只是學生沒有認識到這一點。因此，我們有必要選擇一些較為合適的例題，通過這些例題的講解，既能夠讓學生易于接受，又可以讓學生認識到《線性代數》課程的重要性，從而更好地激發他們的學習熱情。為此，在一階線性微分方程的教學當中，可以通過下面這個例題的講解來達到我們的目的。

例：求一階線性微分方程組

■=-x1（t）+2x2（t）■=3x1（t）-2x2（t） （1）

滿足初始條件x1（0）=1x2（0）=2的特解。

解：本題可以分解成如下幾步完成。

1）將方程（1）改寫成向量形式。

令A=-1 2 3 -2，x（t）=x1（t）x2（t），則有

■=Ax（t）。 （2）

2）求出矩陣A的特征值和特征向量。A的特征多項式為

|λE-A|=λ+1 -2-3 λ+2=（λ+1）（λ+2）-6=（λ+4）（λ-1）（3）

由A的特征方程|λE-A|得到A的特征值為λ1=1和λ2=-4，相應的特征向量分別是P1=11和P1=2-3。

3）將矩陣A相似對角化。令P1=1 21 -3，Λ=1 01 -4，則根據矩陣相似對角化的性質可得P-1AP=Λ，其中P-1=■3 21 -1。

4）利用線性變換對方程（1）進行恒等變形。由于P-1■=P-1AP·P-1x（t），所以我們可以令y（t）=P-1x（t），這樣就得到方程組■=Λy（t），即■=y1（t）■=-4y2（t） （4）

這是兩個變量可分離方程，其通解為

y1（t）=et+C1y2（t）=e-4t+C2。

5）求出方程組（1）的通解和特解。由線性變換x（t）=Py（t）可得方程組（1）的通解為

x（t）=Py（t）=1 21 -3et+C1e-4t+C2=et+2e-4t+C1+2C2et-3e-4t+C1-3C2

即x1（t）=et+2e-4t+C1+2C2x2（t）=et-3e-4t+C1-3C2 （5）

將初始條件x1（0）=1x2（0）=2代入式（5）得到C1=0.4C2=1.2，于是方程組（1）的特解為

x1（t）=et+2e-4t-2x2（t）=et-3e-4+4 （6）

6）對本題的求解方法進行小結。本題解法的基本思想是通過向量的線性變換以及矩陣的相似對角化，將一個耦合的一階線性微分方程組，分解成兩個獨立的一階線性微分方程，然后求出其通解和特解，最后再利用逆變換求出原方程組的通解和特解。實際上，利用同樣的方法，也可以求解高維的一階線性微分方程組的通解和特解。

本例題雖然比較簡單，但求解過程中所涉及的知識學生都容易接受，而且可以較好地讓學生認識到《線性代數》課程的重要性。另一方面，在基礎課程的教學過程中，如果能夠更多地涉及一些與專業課程有關知識的教學，則會更好地促進學生的學習。

參考文獻：

[1]田原，沈亦一.線性代數[M].上海：華東理工大學出版社，2007.

[2]張學山.高等數學（上冊）[M].上海：高等教育出版社，2011.