判定向量組線性相關性的若干方法

摘要：向量組線性相關性的判定是線性代數中的一類重要問題，方法多而靈活，本文介紹介紹了判定向量組線性相關性的一些常用的方法。

關鍵詞：向量組；線性相關性；判定

中圖分類號：G718.5 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2013）19-0167-02

向量組線性相關性的判定通常有定義法、相關定理或結論、初等變換法（求秩法）、行列式法等，對于具體題目，有如下方法。

一、對向量坐標已知的向量組

設向量組為α1=[a11，a12，…，a1n，]，α2=[a21，a22，…，a2n，]，……αs=[as1，as2，…，asn].

要判斷其相關性，分以下兩種情形：

1.當向量個數=向量維數，即s=n時，設A=[α1，α2，…，αs]T.

（1）行列式法

計算|A|，若|A|=0，則向量組α1，α2，…，αs線性相關；若|A|≠0，則向量組α1，α2，…，αs線性無關。

（2）初等變換法（求秩法）

將向量α1，α2，…，αs組排成矩陣A，即A=[α1，α2，…，αs]T（若αi是列向量時，將其排成列，構成矩陣A，即A=[α1，α2，…，αs]），再求矩陣A的秩.具體地，若R（A）

以上情形很簡單，不再舉例。

2.當向量個數向量維數，即s≠n時，只須初等變換法（求秩法）即可。

例1 判斷下列向量組是否線性相關。

（1）α1=[2，0，0]，α2=[0，2，1]，α3=[1，1，1]，α4=[-1，2，0]

（2）β1=[1，2，-1，0]，β2=[2，-3，1，3]，β3=[4，1，-1，7].

解：（1）A= 2 0 0 0 2 1 1 1 1-1 2 0→1 0 00 1 10 0 10 0 0，可見R（A）=3<4.

所以，向量組α1，α2，α3，α4線性相關。

（2）B=1 2 -1 22 -3 1 34 1 -1 7→1 2 -1 20 1 -3/7 3/70 0 0 0，可見

R（B）=2<3.

所以，向量組β1，β2，β3線性相關。

注：由于向量組的秩不會超過向量組中向量的維數，所以有如下結論：一個向量組，當其向量的維數小于向量的個數時，該向量組一定線性相關.本例的（1）題就是這種情形.而當其向量的維數大于向量的個數時，情況就比較復雜，要用初等變換法（求秩法），如本例的（2）題。

二、當向量坐標為未知時

此時用定義進行判斷.從等式k1α1+k2α2+…ksαs=0出發，解出k1，k2，…，ks，若k1=k2=…=ks=0，則向量組α1，α2，…，αs線性無關；若k1，k2，…，ks不全為0，則向量組α1，α2，…，αs線性相關。

例2？搖 設向量組α1，α2，…，αs線性無關，β1=α1-α2+2α3，β2=α2-α3，β3=2α1-α2+3α3，判斷向量組β1，β2，β3的線性相關性。

解：用定義法.設存在數k1，k2，…，ks，使k1β1+，k2β2+k3β3=0，

將β1，β2，β3代入并整理得

（k1+2k3）α1+（-k1+k2-k3）α2+（2k1-k2+3k3）α3=0.

由α1-α2+3α3線性無關知k1+3k3=0-k1+k2-k3=02k1-k2+3k3=0

因 1 0 2-1 1 -1 2 -1 3，故齊次線性方程組有非零解，從而存在不全為零的數k1，k2，k3，使k1β1+k2β2+k3β3=0，從而向量組β1，β2，β3線性相關。

事實上，此題可用以下方法。

三、相關定理或結論

用相關定理或結論判定向量組的線性相關性，也是很重要的方法，這要求熟記很多相關定理或結論。這里給出一個很有用的結論：

若一組向量可以寫成另一組線性無關向量的線性組合，且兩個向量組向量個數相等，可計算其表示系數的行列式。若這個行列式等于零，則線性相關；否則線性無關。

例3 已知α1，α2，…，α3，α4線性無關，判斷下列向量組的相關性。

（1）β1=α1-α2-α3-α4，β2=-α1+α2-α3-α4，

β3=-α1-α2+α3-α4，β4=-α1-α2-α3+α4；

（2）β1=2α1+α2+4α3+α4，β2=3α1-α2+2α3+α4，

β3=α1+2α2+3α3+2α4，β4=5α1+6α3+2α4.

解：（1）表示系數的行列式為 1 -1 -1 -1-1 1 -1 -1-1 -1 1 -1-1 -1 -1 1=-16≠0，從而β1，β2，β3，β4線性無關。

（2）表示系數的行列式為2 1 1 13 -1 2 11 2 3 25 0 6 2=0，故β1，β2，β3，β4線性相關。

注：此題中，已知的線性無關向量組α1，α2，…，α3，α4和考察的向量組β1，β2，β3，β4，這兩個向量組向量個數必須相等。若所考察的向量組β1，β2，…，βr與已知的線性無關向量組α1，α2，…，αs向量個數不相等，即時r≠s，此方法顯然行不通，此時要用定義法。

以上介紹了判定向量組線性相關性的一些常用的方法，在應用時，要看清問題中向量組給出的形式及其他條件，有針對性的選用方法，才能準確、快速地解決問題。

參考書目：

[1]上海交通大學數學系.工程數學-線性代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]李世棟，等.線性代數[M].北京：科學出版社，2002.