建立函數關系式的方法淺探

近年來，部分地區中考招生數學試題都有建立函數關系的內容，甚至把這一內容作為壓軸題.因此，在初中數學教學中研究如何建立函數關系的內容，成為教學中的一個熱點問題，也是初中數學的一個難點.而建立函數關系與列方程（組）解應用題其思想、方法、步驟是無二致的，其關鍵也是設未知量x、y之后，利用題設的條件找出等量關系，列一個關于x、y的方程（而不是兩個），然后把y表達出來（注意x的取值范圍）.因此，從程序上看，建立函數關系比列二元方程組還簡便，因為它只需列一個關于x、y的方程就可以了.這樣，就把新的知識納入到已有的認知結構中去了.那么，代數類與幾何類的等量關系又怎么找呢？

一、代數類

這類題通常以商品、價格、生活、生產中的問題為主，其等量關系應從題目中的關鍵詞句中找.

【例1】已知雅美服裝廠現有A種布料70米，B種布料52米，現計劃用這兩種布料生產M、N兩種型號的時裝共80套，已知做一套M型號的時裝需用A種布料06米，B種布料09米，可獲得利潤45元；做一套N型號的時裝需用A種布料11米，B種布料04米，可獲得利潤50元.若設計生產N型號的時裝套數為x，用這批布料生產這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元.

（1）求y（元）與x（套）的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）雅美服裝廠在生產這批時裝中，當N型號的時裝為多少套時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？

分析及簡解：本題已設好x、y，因此只需找出生產兩種型號的套數與利潤的關系即可.因為生產N型服裝套數為x，那么M型號服裝套數為（80-x），依題意得y=45×（80-x）+50x，化簡為y=5x+3600，這就是所求的函數關系式.但由于生產兩種型號的衣服又要用到A、B兩種布料，而A、B兩種布料又是有限的.因此，又要用A、B兩種布料的存量來限制兩種型號服裝的生產.因此，又得到關于x的不等式組：

06×（80-x）+11x≤70，

09×（80-x）+04x≤52.

解之得:40≤x≤44.因為x為整數，故自變量x的取值范圍是40、41、42、43、44.因y=5x+3600，y隨x增大而增大，故當x=44時y有最大值，其最大值為3820元.

點評：利潤y是套數x的函數，而自變量x又受到A、B兩種布料的限制，x又是布料的函數，要通過A、B兩種布料的存量求出x的取值范圍，即建立關于x的不等式組.

二、幾何類

幾何類題型通常是建立兩線段之間，或線段長度與面積之間的函數關系.等量關系在哪里？等量關系就在直角三角形內，或者就在圖形內.

【例2】已知：如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD于點H，P為AD上的一個動點（點P與點A、D不重合），CP與BD交于點E.若CH=6013，DH∶CD=5∶13，設AP=x，四邊形ABEP的面積為y.

（1）求BD的長；（2）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）當四邊形ABEP的面積是△PED的面積的5倍時，判斷△PAB與△PDC是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，請說明理由.

簡解：（1）∵DH∶CD=5∶13，故可設DH=5k（k＞0），CD=13k.在Rt△CHD中，CH=CD2-DH2=12k.∵CH=6013.∴k=513.∴DC=5，DH=2513.故BD=DC2DH=13.在Rt△BCD中，BC=BD2-DC2=12.

∴AD=12.∵AP=x，∴PD=12-x.

（2）過點E作EF⊥AD于F，延長FE交BC于點M.由△EDP∽△EBC，

∴EFEM=PDCB，CD=MF=5.∴EF5-EF=12-x12，

∴EF=5(12-x)24-x.∴S△PED=12(12-x)·5(12-x)24-x=5(12-x)22(24-x)，S△ABD=12AB·AD=30.

∴S四邊形△ABEP=S△ABD-S△PED，∴y=30-5(12-x)22(24-x)(其中0＜x＜12)，

(3)∵S四邊形△ABEP=5S△PED，

∴S四邊形△ABEP=56S△ABD=25，即y=25，∴x=6，即AP=6.

當AP=6時，P為AD中點，易證△PAB≌△PDC.

∴△PAB與△PDC相似，相似比為1.

此題有一定的難度.其實用了字母x，y以后，還可以達到簡化符號的作用.把幾何圖形的問題轉化為函數問題.

建立函數關系的例題很多，由于篇幅有限，這里就不一一列舉了.由此可見，我們應當重視建立函數關系式問題，因為這類問題接近生活，是從生產生活和科學實驗中抽象出它的數學模型，是數學過程的教學，對于培養青少年的數學意識，提高學生的數學素質，無疑是十分有意義的.

（責任編輯黃春香）