由一次聽課引起的反思

一次校內隨堂聽課，引起了我的反思，現寫出來與同行們共同探討，希不吝賜教.

一、教學片段

問題:如圖，A，B，C分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的頂點，P為橢圓上異于A，C的一點，若線段AP的垂直平分線過B點，橢圓離心率的范圍是.

教師講評，并在黑板上板演如下過程：

解：設點P(x1，y1)，線段AP的中點為x1-a2，y12，

線段AP的斜率為k1=y1x1+a，

所以線段AP的垂直平分線為y-y12=-x1+ay1·x-x1-a2，

又因為線段AP的垂直平分線過點B，所以b-y12=-x1+ay10-x1-a2，

即2by1-y21=x21-a2.①

又因為P在橢圓上，且x21a2+y21b2=1，則

x21=a2(1-y21b2).②

聯立①②可得y1=-2b3c2.

又因為0＜｜y1｜≤b可得2b2≤c2，即2a2≤3c2，所以e≥63，故橢圓離心率的范圍為63，1.

正當教師準備講下一題時，有一個女學生站起來說：“老師，由a2+b2≥2b也可求出63≤e＜1.”（有幾個學生附和著）

教師：有什么解題依據？

學生：沒什么依據，只是感覺線段PB應該比短軸2b要長.（學生哄堂大笑）

（簡單思考后）教師：這種解法沒有依據，只是答案巧合而已.

接著，教師繼續講解下面的題目，我看到幾個學生還想爭辯什么，看看老師，繼而臉上露出失望、迷茫的表情.

二、學生解法的探究

學生的解法真的沒有依據？真的是巧合嗎？線段PB真會比短軸2b要長嗎？下面我們對學生的解法進行探究.

解：設P(x1，y1)(y1≠0)，

PB=x21+(y1-b)2=

-c2b2y21-2by1+a2+b2=

-c2b2(y1+b3c2)2+a2+b2-b4c2

，

又因為-b＜y1≤b且y1≠0，所以：

①若-b3c2≤-b時，即0＜e≤22.當y1=-b時，(PB)max=2b，則PB≤2b成立.

②若-b3c2＞-b時，即22＜e＜1.當y1=-b3c2時，(PB)max=a2+b2+b4c2.

(PB)max=2b（0＜e≤22）；

a2+b2+b4c2(22＜e＜1).

記f(y1)=-c2b2(y1+b3c2)2+a2+b2-b4c2，

當y1∈(-b，-b3c2)時，f(y1)逐漸增大；當y1∈(-b3c2，b)（y1≠0）時，f(y1)逐漸減??；要使存在異于A、C的點P，使得PA=PB，即f(y1)=f(0)=a2+b2，則必有a2+b2≥f(-b)=2b，

從而解得：63≤e＜1.

由上述解題過程我們還能探究：橢圓上的動點P到橢圓的上頂點B的距離何時最大.

三、教學反思

第一，雖然高三課堂時間很緊，但教師在課堂上也不能為了完成教學任務而演“教案劇”.教師備課時應盡量多一些思考與準備，舍得花時間把問題講透徹，只有這樣，學生才能真正弄懂問題，從而提高課堂學習效率.

第二，教師的教學要充分利用學生這一重要的資源.教師自己即使真的沒有找到好的方法（本例中教師提供的解法比較煩瑣），也可以問計于學生（有些學生的解法會優于教師，由于篇幅有限，就不一一列舉了），充分調動學生，使我們的課堂講得更透徹，學生樂聽、愿聽，大大提高學生的積極性.

第三，教師在課堂上的教態要平和，當學生提出疑問時，應該給予學生及時的、必要的幫助，切不可敷衍了事，影響學生的學習積極性.學生若提出教師事先沒有準備到的問題，可以先讓學生表達自己的觀點后，教師再作出恰當評價；學生若提出錯誤的解決方案時，教師不應嘲笑，同時制止其他同學嘲笑，還要認真地指出學生錯誤之處；學生若一時難以明白的，可留到課后再耐心講解；學生若提出教師一時不知對錯的方案時，教師不應該立即否定，不妨這樣講：“這種方法老師也沒有看明白，是個新角度，不妨試一試，以后找個時間解決它吧.”這樣，既保護了學生的創新思維，又調動了學生自主探究的積極性.

（責任編輯黃春香）