注重課堂問題設計優化學生思維能力

心理學認為，思維總是和解決問題聯系在一起，人們為解決問題而思維，思維總是指向解決問題.教師在課堂上設計的問題，不僅能鞏固與檢測教學效果，而且能促進學生把知識轉化為技能，優化學生的思維與能力.因此，課堂教學中需要教師精心設計問題，優化學生的思維品質，提高學生的能力.

下面筆者針對培養學生的不同思維和能力，談談課堂問題的設計.

一、設計直觀性問題，培養直覺思維

直覺思維是不受固定的邏輯規則約束，直接領悟事物本質的一種思維方式，它是思維中最活躍最積極最有創造性的成分.著名數學家吳文俊說：“只有推理，缺乏數學直覺是不會有創造性的.”培養學生的直覺思維能力的方法靈活多樣，其中最有效的辦法是讓學生主動地去觀察，觀察是誘發直覺思維的最主要形式.因此，課堂教學中應設計直觀性問題，提高學生的觀察能力，以培養學生的直覺思維.

【例1】（1）（2009年湖北高考）已知關于x的不等式ax-1x+1＜0的解集是(-∞，-1)∪(-12，+∞).則a=.

（2）（2010年銀川模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥平面ABCD，PA=3.

①證明：平面PBE⊥平面PAB；

②求二面角A—BE—P的大小.

分析：(1)本例利用直覺思維，意識到解集中的-1，-12是不等式的零根，顯然-12是分子ax-1=0的解，可得a值.（2）認真觀察，分析題目條件，依靠直覺思維得出∠PBA是二面角A—BE—P的平面角，再加以證明，可使問題目標明確，化難為易.

在課堂教學中，若能設計出訓練學生直覺思維的直觀性問題，可以使學生解題目標更明確，化難為易，迅速解決問題.

二、設計模糊性問題，培養批判性思維

“錯誤是正確的先導”，由于基礎知識不扎實或思維上的偏差，常會出現這樣或那樣的錯誤.對此，教師應針對學生常犯的一些隱晦的錯誤，設計模糊性問題，故意設計問題陷阱，讓學生出現暫時性的失敗感，主動去分析錯誤，尋找治“錯”良方，在知錯中改，改錯中防，彌補自己在知識上的缺陷和思維上的缺陷，防止錯誤認識的再遷移，從而增強思維的嚴密性和批判性，提高解決問題的準確性.

【例2】（1）若a、b、c為任意向量，(a·b)·c=a·(b·c)成立嗎？為什么？

（2）比較2+3i和4+3i的大小.

（3）等差數列中a2+a5=a7，對嗎？

三、設計相關性問題，培養思維動態性

聯想是使人由一個事物轉移到另一個相關事物上的一種動態思維.它能在研究和解決有關數學問題時，采用某種方式或手段，將問題轉化為相關問題，進而達到解決的目的.通過聯想轉化，如數形轉化、動靜轉化、函數與方程之間的轉化、代數與幾何之間的轉化等，可使復雜問題直觀化.在課堂教學中設計相關性問題，可使學生樹立相互聯系的辯證思想，培養學生的問題轉化能力和訓練學生的動態思維.

【例3】（1）(2007年安徽高考)如果點P在平面區域

2x-y+2≥0

x-2y+1≤0

x+y-2≤0上，點Q在曲線x2+(y+1)2=1上，那么｜PQ｜的最小值為（）.

A.5-1B.45-1C.22-1D.2-1

(2)（2007年浙江高考）設m為實數，若

四、設計逆向性問題，培養逆向思維

在課堂教學中，對問題進行逆向變換，即把問題的已知條件和未知條件進行變換，或將一些數學概念、定理、公式等進行逆向應用.另外，設計運用分析法、反證法等逆向考慮問題的方法來解決問題，以訓練學生的逆向思維，讓學生樹立“正難則反”的思維方式.

【例4】（1）α=β是tanα=tanβ的（）條件.

（2）如何由y=13sin(2x+π3)的圖象得到y=sinx的圖象？

分析：（1）利用逆否命題的等價性；（2）利用三角函數圖象變換的方式逆向.

逆向性問題對鍛煉學生逆向思維具有很大的作用，特別是一些關于數學概念的判斷題.

五、設計類比性問題，訓練求同歸納思維

問題設計的較高目標是培養學生舉一反三的能力.精心設計問題，將問題分類，把具有共同特征的不同問題歸為一類，形成類比性問題，實行多題一解.這樣，讓學生集中力量解決同類問題中的本質問題，歸納出這類問題的解決方法和規律，從而達到觸類旁通的目的，訓練學生求同歸納思維.

【例5】

（1）（2009年廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為．

（2）（2007年江蘇高考）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A(-4，0)和C(4，0)，頂點B在橢圓x225+y29=1上，則sinA+sinCsinB=.

（3）（2009年北京高考）橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若｜PF1｜=4，則｜PF2｜=；∠F1PF2的小大為.

分析：通過以上三例可以讓學生總結出解決橢圓焦點三角形問題的基本思路：應用橢圓的定義.

通過歸類訓練，把知識從一個問題遷移到另一個問題上，從而達到舉一反三、觸類旁通的功效.

六、設計發散性問題，培養發散性思維

發散性思維是一種沿著不同方向去選取和重組信息，不依常規尋求變異，從多方面尋求答案的思維方式.它是較為活躍具有很大創造性的思維方式，數學中的發散性問題對訓練學生的發散性思維，提高學生的創新能力起著巨大的作用.發散性問題設計有以下方式.

1.一題多變

通過變換題目的條件、題型、要求、情境等，由一題發散成多題，對學生進行一題多變訓練，不僅能夠強化對基礎知識的理解和記憶，而且能夠拓寬、深化解題思路，探索解題規律，培養創新能力和思維品質，增強應變能力，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的.

【例6】已知橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，在橢圓上求一點P，使∠F1PF2=90°.

變式1：已知橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，P為橢圓上一點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的范圍是.

變式2：已知橢圓

x2m+5+y2m=1

上存在一點P，有∠F1PF2=90°，求m的范圍.

變式3：（2009年上海高考）已知F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面積為9，則b=.

分析：

通過一題多變的設計，培養了學生思維的變通性.

2.一題多解

對同一問題多角度地探索解題思路，形成一題多解，既能使學生的思維朝著不同方向發散，靈活地運用知識，又能通過比較，選擇最合理、最簡捷的思路，培養學生思維的靈活性、流暢性.在課堂問題設計時，教師要有意識地偏重可用多種思路完成的典型題，并鼓勵學生不拘泥于常規方法，尋求變異，勇于創新.

【例7】求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析：本例解法有拆角、立方公式、降次、配方、余弦定理等五種以上的解題思路.

通過一題多解，引導學生運用各種知識，沿不同途徑思考問題，通過比較提煉出最佳解法，從而達到優化解題思路的目的.

通過一題多變、一題多解等發散性問題的設計，可做到對學生一題多測、一題多得，從而發展學生的發散性思維，提高學生的創新意識和創新能力.

七、設計開放性問題，培養探索性思維

隨著素質教育的不斷深入，人們開始認識到開放性問題在培養和檢測學生創新能力的重要作用.這類問題立意新穎，構思精巧，自由度大，要求學生自己去研究，去探索，去發現，去解決.美國心理學家布魯納說：“探索是數學的生命線.”可見，此類問題在數學中的地位和作用.

在課堂教學中，設計出探索條件、探索結論、探索存在等的開放性問題，不僅有利于培養學生的探索能力，而且還能為學生提供廣闊的創造性思維空間.

【例8】（1）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時，平面MBD⊥平面PCD.（只要填寫一個你認為是正確的條件即可）

（2）（2009年廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12.圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak.

①求橢圓G的方程；②求△AkF1F2的面積；③問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.

（3）設f(x)=ex-e-x2，g(x)=ex+e-x2，對于任意的x，y，請化簡如下兩式：

①f(x)g(y)+g(x)f(y)；②g(x)g(y)+f(x)·f(y)；據此你還能發現什么結論，試寫出發現過程.

分析：（1）屬于結論不唯一的開放性問題，探索結論.（2）屬于存在性問題，探究存在性.（3）屬于探究過程（可聯系三角函數的和差公式、倍角公式探索）.

八、設計一般性問題，培養特殊化思維

數學中，從特殊到一般的思考方式就是先考察問題的某些簡單特殊情形，通過對特殊情形的探究，找出一般規律，從而發現解決問題的方法.加強學生的“特例”意識，因此需要在課堂教學中設計一般性問題，讓學生通過對一般性問題中的個別特殊情況進行觀察和分析，發現問題的結論，從而找到解決問題的途徑.尋找一般性問題的“極端情形”是解決一般性問題的出發點，也是培養學生特殊化思維的關鍵所在.

【例9】

（1）過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點F，作一直線交拋物線于M、N兩點，若FM、FN的長分別是p、q，則1p+1q=（）.

(2)設｛an｝，｛bn｝是公比不相等的兩個等比數列，設cn=an+bn，證明：數列｛cn｝不是等比數列.

分析：（1）考慮MN的任意性和結果的唯一性，取拋物線的通徑可使問題迅速準確地解決.（2）否定一個命題，只需一個反例即可，本例只需證c22≠c1·c3.

對于一般性問題的設計就是訓練學生在一般性問題中提取不失一般性的特殊信息的能力，從而培養學生的特殊化思維和創新思維.

九、設計應用性問題，提高數學應用能力

加強數學應用意識是時代發展的需要，同時也是數學學科的特點所決定的.設計應用問題，可以發揮數學在實際問題中的應用，提高學生的數學學習興趣，使學生受到實際問題抽象為數學問題的訓練，形成應用數學的意識，培養學生分析問題、解決問題的能力.但是設計此類問題時，要注意問題類型、數量化、形式化的抽象程度，問題的難易程度和學生的知識內容范圍及能力水平.

【例10】（2010年湖北理數17）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(x)（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式.

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值.

十、設計信息遷移問題，提高知識遷移能力

信息遷移題是指以學生已有的知識為基礎，設計一個陌生的數學情境，或定義一個概念，或規定一種運算，或給出一個規劃，通過閱讀相關信息，根據題目引入新內容進行解答的一類新題型.信息遷移題背景新穎，構思巧妙，形式多樣，融綜合性、應用性、開放性、創新性于一體，可以較好地考查學生的學習能力，閱讀理解能力，數學思維能力，知識的遷移能力和思維品質.

【例11】（1）（2010年四川理數16）設S為復數集C的非空子集.若對任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，則稱S為封閉集.下列命題：

①集合S＝{a＋bi|（a，b為整數，i為虛數單位）}為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足STC的任意集合T也是封閉集.

其中真命題是.（寫出所有真命題的序號）

（2）（2011年廣東文10）設f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實值函數．如下定義兩個函數(fg)(x)和(f·g)(x)；對任意x∈R，(fg)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x)．則下列等式恒成立的是（）.

A．((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)

B．((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)

C．((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)

D．((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)

（3）（2011年四川理16）函數f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)=f(x2)時總有x1=x2，則稱f(x)為單函數．例如，函數f(x)=2x+1(x∈R)是單函數．下列命題：

①函數f(x)2=x2(x∈R)是單函數；

②若f(x)為單函數，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

③若f:A→B為單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；

④函數f(x)在某區間上具有單調性，則f(x)一定是單函數．

其中的真命題是．（寫出所有真命題的編號）

分析：（1）定義新概念;（2）定義新運算;（3）定義一類新函數.

十一、設計綜合性問題，培養綜合邏輯思維

在高三總復習階段，若能在數學知識網絡的交匯點上設計出考查學生多種知識和多種技能的綜合性問題，就可以培養學生綜合運用知識及分析問題、解決問題的能力，提高學生的綜合邏輯思維能力.

【例12】（2007年北京高考）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為2r，短半軸長為r，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

（I）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；

（II）求面積S的最大值．

多年的教學實踐使我深深感到：教師在設計問題上多花一點時間，學生就會少浪費一點時間；設計的問題精一點，學生就會學得活一點，做得好一點.由此可見，精心設計課堂問題，是發揮學生主體作用，發展學生思維能力，減輕學生課業負擔，提高教學效率的有效途徑.

（責任編輯黃春香）