猜想、類比、再證明圓錐曲線中一個優美的“必然”

圓錐曲線是高考的重點和熱點，高考考題常考常新，命題者更是費盡心思，但出題之中有偶然也有必然.筆者在做2011年高考解析幾何題時，受江蘇高考第18題的啟發，得出了一組優美的結論.

圖1

2011年江蘇高考第18題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓

x24+y22=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（1）當直線PA平分線段MN時，求k的值；（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB.

在第（3）問中我們得到這樣的結論：對任意的k＞0，都有PA⊥PB.

筆者猜想是否對任意的橢圓都有PA⊥PB，于是想通過幾何畫板構造動態橢圓來研究這個猜想，但是在畫的過程中遇到了一個問題：直線OP與橢圓的交點A和直線AC與橢圓的交點B選不了.對于直線OP與橢圓的交點A，是通過構造假點A來完成（將點P繞點O旋轉180°），但是直線AC和橢圓的交點B怎么都解決不了.由此直線PB的斜率就無法度量，用幾何畫板研究的想法就此夭折.（幾何畫板中圓錐曲線和直線的交點是無法選中的，這個問題的解決希望同行不吝賜教）

于是筆者想到圓是橢圓的近親，轉而去研究在圓里是否有PA⊥PB呢？

于是這道題就改編為：在圓x2+y2=r2(r＞0)中，過原點作直線交圓于P、A兩點，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC交圓于點B，則是否有PA⊥PB？

對于此題，有幾個學生很快就得出結論了，并且相當部分學生認為這個結論很完美，其過程如下：

解:設解析式為y+b=k(x+a)，根據題意得

5+b=k(3+a)，2+b=k(2+a)， 解得k=3.

∴y=3x+3a-b.

面對這個結論，教師擺出一副對結論持懷疑的態勢，不料學生似乎成竹在胸地陳述起來：待定系數有三個，根據題意只能列出兩個三元方程，要求出a、b、k的值不可能，只能是這個結論.應該承認學生的話是有一定道理的，至少與以往的一般經驗相吻合.顯然學生的思維障礙主要是受解多元不定方程組的思維定勢的消極影響，在解題過程中他們忽視了兩點：①所得結論與求解析式的一般結果要求不符；②不能求出a、b的值不等于3a-b的值不可求.于是引導學生重新審視已得結果，變換思考的角度，回過來檢查解題過程，不難得出3a-b的值，于是寫出正確的解析式也就順理成章了.

四、善于數學建模

事實上，數學建模的實質既是一個將實際問題轉化為純數學問題的過程，又是一個用數學的過程，從這個意義上講，正是培養學生用數學方法解決實際問題的一個重要途徑.

圖3

例如，一所學校為了美化校園環境，要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=125米，安裝在柱子頂端A處的噴水頭向外噴水，水池在各個方向沿形狀相同的拋物線路程落下，且過OA的任一平面上拋物線路程（如圖3），為使水流形狀漂亮，設計成水流在到OA的距離為1米處達到距水面最大高度2.25米，如果不計其他因素:

（1）水池半徑至少要多少米，才能使噴出水流不致落在池外？

（2）如果修水池每平方米造價為130元，問修這個水池至少要花多少錢？

在引導學生分析時，要求學生找準重要句中的關鍵詞“拋物線”，問題可歸類到建立直角坐標系模型，一旦坐標系建立，則學生很快地悟出（1）和“求拋物線與x軸交點的橫坐標”呈等價命題，若解決了（1），則（2）便不難解得.

因此，教師在引導學生建模的過程中，應注意抓住問題的關鍵，既要注意轉化，展示過程，又要注重歸類，這樣，學生的解題能力自然就得到提高.

（責任編輯 金 鈴）

圖2

我借助于幾何畫板進行演示（如圖2），發現PA⊥PB不成立（實際上AB⊥PB），但是有kPA·kPB=-2，將點P在圓上隨意轉動時，kPA·kPB=-2不改變，再將圓的半徑不斷改變時，仍然有kPA·kPB=-2，即kPA·kPB是一個定值-2.聯想到2011年江蘇高考第18題第（3）問實際上是證明kPA·kPB=-1.

由此我覺得對任意的橢圓不一定有PA⊥PB，而是應該有kPA·kPB是定值.結合圓的方程

x2r2+y2r2=1（x2+y2=r2）及kPA·kPB=-2和橢圓方程

x24+y22=1

及kPA·kPB=-1，猜想這個定值應該與橢圓方程

x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）

中的a、b有關，可能是-2b2a2.

于是著手去證明.注意到2011年江蘇高考第18題的第（3）問其中一種解法是：

設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(-x1，-y1)，C(x1，0).設直線PB、AB、PA的斜率分別是k1、k2、k，因為C在直線AB上，所以k2=0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.從而

k1·k+1=2k1k2+1=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)+1

=2y22-2y21x22-x21+1=

(x22+2y22)-(x21+2y21)x22-x21

=4-4x22-x21

=0.

因此k1k=-1，所以kPA·kPB=-1，所以PA⊥PB.

把這個證法修改一下：

設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則

x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(-x1，-y1)，C(x1，0).設直線PB、AB、PA的斜率分別是k1，k2、k，因為C在直線AB上，所以

k2=0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.從而

k1·k=2k1k2=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)=2·

y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)=2·

y22-y21x22-x21.①

由于B、P兩點在橢圓

x24+y22=1上，所以有

y21=2(1-x214)，

y22=2(1-x224)

，帶入①，

得k1k=-1，所以kPA·kPB=-1，PA⊥PB.

注意到這個證法中

“x1＞0，x2＞0”這個條件在下面的證明其實沒有作用.實際上只須x1≠0（此時PA的斜率不存在）和x1≠x2（若x1=x2，則P、B、C三點重合于橢圓與x軸的交點），也就是說對于本題來講，當直線繞著原點運動時(k＞0或k＜0)都有kPA·kPB=-1，實際上當點P在橢圓上隨意運動（除去點P為橢圓與坐標軸的交點）時都應該有kPA·kPB=-1.

于是我們把這道題進行推廣：在橢圓

x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，過原點作直線交橢圓于P、A兩點（直線PA不與坐標軸重合），過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓于點B，證明：kPA·kPB=-2b2a2.

證明如下：設P(x1，y1)，B(x2，y2)，則有

x1≠0，x1≠x2，A(-x1，-y1)，C(x1，0).因為C在直線AB上，所以

kAB=

0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=kPA2.從而

kPA·kPB=2kABkPB=2·

y2-(-y1)x2-(-x1)·y2-y1x2-x1=2·

y22-y21x22-x21，②

由于B、P兩點在橢圓

x2a2+y2b2=1上，所以有

y21=b2(1-x21a2)，

y22=b2(1-x22a2)，帶入②，

得kPA·kPB=-2b2a2.

如果令a2=b2=r2，正好就證明了在圓

x2r2+y2r2=1（x2+y2=r2）中的結論kPA·kPB=-2.

此時我們可以把問題進行類比：已知橢圓y2a2+x2b2=1（a＞b＞0），過原點作直線交橢圓于P、A兩點（直線PA不與坐標軸重合），過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓于點B，證明：

kPA·kPB=-2a2b2（證明過程同上）.

由此進一步統一結論：已知曲線

x2m2+y2n2=1，過原點作直線交曲線于P、A兩點（直線PA不與坐標軸重合），過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交曲線于點B，則有

kPA·kPB=-2n2m2.

由上面的過程可以發現，江蘇高考第18題實際上是將必然的結論特殊化，偶然中暗藏必然.如果我們能夠對一些類似題目大膽地猜測、類比、歸納、證明，或許還能得到很多優美的結論.

（責任編輯 金 鈴）