引導學生正確尋找解題思路的探索

數學思維是指人腦和數學對象交互作用，并按一般思維規律認識數學的思維過程，其特征是教師的合情設疑、適當啟發，學生動腦、動手主動參與，使學生的思維在處于積極主動的狀態下去自主探索獲取知識.數學課堂教學的一個重要任務就是要培養學生的思維能力，即指導學生用數學的眼光、數學的思想去分析問題和解決問題.筆者根據多年來的教學實踐和研究體會，就數學課堂教學中，如何引導學生尋找解題思路，談一些粗淺的看法.

一、開展豐富聯想

豐富的聯想力往往是發明創造的前奏曲，可以說人類如果沒有聯想，就沒有科學發展的今天.學生由于經過學習和對知識的積累，已經具備了一定的聯想能力，在教學中，只要教師善于把握時機給予學生聯想的時空，讓他們在聯想中領略新知識的發現過程，在聯想中發現新穎的解題思路和方法，對開發學生的智力以及提高其解題能力都是一項事半功倍的舉措.

例如，在學習相似形后的一節活動課中，我設計了問題：

x、y、z均為正數，且滿足x2＋y2＝z2，zx2-r2=x2.

求證：xy=rz.

活動過程：教師引導學生觀察所給條件和結論的形式各有什么特點.經過認真思考和討論，當大部分學生由題設部分的“式結構”聯想到幾何中的“勾股定理”，直角三角形的“射影定理”的“形結合”及可將x、y、z看成線段的長度時，教師及時給予充分的肯定和表揚.之后教師又提出：根據這一設想，結論中兩字母的積與另兩字母的積相等有哪些可能？接下來讓學生根據各自的設想動手畫一畫、做一做、想一圖1

想，很多學生不難畫出圖形，并將x、y、z、r看成Rt△ABC中的有關元素（如圖1），此時，一個巧妙而簡捷的證法在學生中間產生了：根據三角形的面積公式來證明！

證明:∵x、y、z均為正數，且滿足x2＋y2＝z2，不妨設x、y、z分別為Rt△ABC三邊的長，其中z為斜邊，r為斜邊AB上的高，在Rt△ABC中，BD=BC2-CD2=x2-r2，由射影定理知BC2=BD·AB，即x2=zx2-r2，故Rt△ABC中的元素全部滿足條件，由三角形面積公式得

12BC·AC=12AB·CD，即12xy=12zr，∴xy=rz.

此題證法將代數問題幾何化，聯想合理、思路新穎、證法獨特，既開闊了學生的視野，又啟迪了學生的思維，可謂一舉兩得.

二、注重解題教學

數學教學過程的實質就是引導學生思維活動的過程，發展學生的思維能力是中學數學教學的一項重要任務.根據思維結構學說的理論，要提高數學思維能力，必須使思維內容、思維成分和個體水平等方面均獲得良好的發展，而衡量其發展水平的一個重要標志是學生的解題能力，也就是說解題是學生數學能力綜合表現的外在顯示.因此在解題教學中應注意引導學生認真分析，尋找簡潔的解題思路和途徑，并讓學生受其陶冶.

圖2

例如，如圖2，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，AB=AF，BF和AD相交于E，求證:AE=BE.

引導學生分析：要證AE=BE，但AE、BE不是⊙O的弦，

已知AB=AF不能直接用，聯想到等腰三角形的判定，

將AE、BE放到三角形中考察，得輔助線：“連結AB”，

則只需證∠ABE=∠BAE，∠ABE是AF所對的圓周角，

能否根據所提供的條件制造一段弧使它與AF相等，

且所對的圓周角正好是∠BAE？由BC是直徑，AD⊥BC，自然聯想到垂徑定理，得添另一輔助線“作另一半⊙O，延長AD交⊙O于點M”，則問題得證.

因此，教師在引導學生進行以上分析時，輔之以圖示，會使學生的思路更為清晰明朗.

事實上，例題講解后學生竟有近十種證法呈給教師，這些證法中，既有借助全等的，又有利用等腰梯形知識證得的，還有利用射影定理的，真可謂異彩紛呈，各有千秋.

三、焊接知識鏈條

數學知識的結構呈網絡式，而網絡結構又可以看成由若干知識鏈構成的，要使學生解題迅速準確，就得在教學過程中引導其完成網絡的構建，并且在這個過程中利用反饋原理及時發現學生知識鏈的斷裂處.如果忽視對這種斷裂的處理，不僅會直接影響學生的有效思維，而且對構建知識網絡的完整性也是會產生潛在的危險，因此，發現錯誤后應找準斷裂處進行及時焊接.

例如，已知y+b與x+a成正比例，且x=3時，y=5；當x=2時，y=2，求y與x的函數關系式.