學會思考比學會知識更重要

牛獻禮

《數學課程標準》（2011年版）進一步明確了教育理念由“知識為本”轉為“育人為本”，課程目標由“雙基”拓展為“四基”，體現了對于數學課程價值的全面認識。學會思考的重要性不亞于學會知識，教會學生運用數學的思維方式去想問題（也稱為數學的理性思維，包括形象思維、邏輯思維和辯證思維，合情推理和演繹推理等）將使學生終身受益。數學課程進行的全過程，都應以具體知識與技能的學習為載體，注重培養學生的數學思維和數學推理。就《長方體的認識》的教學而言，就應該要求學生不僅掌握長方體的基本特征和長、寬、高等數學知識，更要讓學生經歷長方體特征的探究與應用的過程，使學生在獨立思考、探索實踐、合作交流、推理論證的過程中，學會數學思考，積累數學活動經驗，增強推理能力和創新意識。

教學片段一：

（學生通過自主探究、合作交流得出“長方體的特征”之后）

師：你怎么證明“長方體相對的面完全相同”呢？

生：我是看出來的，相對的兩個面看起來都一樣。

生：我是用尺子測量的，測量前、后兩個面的長和寬，發現它們的長與長相等，寬與寬相等，長×寬=長×寬，面積一樣大。其他相對的面也是這樣，所以，相對的面完全相同。

師：不錯，觀察、測量都是好方法。除此之外，還有別的方法來證明嗎？

教室里頓時安靜下來，同學們陷入了沉思，又開始仔細觀察起長方體學具來。

生：我發現“前面”的長和“后面”的長是“上面”這個長方形的一組對邊，因為“長方形的對邊相等”，所以這兩個長就相等。同樣道理，兩個寬也相等。長×寬=長×寬，所以，相對的面完全相同。

師：用“長方形對邊相等”的舊知識來解決新問題，真是好方法！剛才同學們還數出了長方體有12條棱，除了“數”的方法，你還有別的辦法嗎？

學生再次陷入沉思，少頃，開始自發地討論起來。

生：因為每個面上都有4條棱，長方體共有6個面，就有4×6=24（條）棱。又因為每條棱都出現在2個面內，剛才重復計算了，所以要再除以2，等于12條棱。

師借助長方體教具，幫助學生明確“棱是兩個面相交的線”，因此，每條棱都同時在兩個面內。

師：剛才我們也數出來了“長方體有8個頂點”。如果不“數”，你有辦法知道嗎？

生：我是這樣想的，因為每個面都有4個角（頂點），共有6個面，就有4×6=24（個）頂點。但是因為每個頂點都同時出現在3個面內，剛才重復計算了，所以要除以3，24÷3=8（個）頂點。

師借助長方體教具，幫助學生理解上述算法。

生：我的想法是，因為長方體有12條棱，每條棱都有2個端點，所以是12×2=24（個）頂點。又因為每個頂點都出現在3個面內，所以共有頂點24÷3=8（個）。

……

思考：推理能力是《數學課程標準》（2011年版）概括出的十個核心概念之一，“推理能力的發展應貫穿整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。

關于“長方體相對的面完全相同”，不滿足于學生想到的“觀察和實驗”的方法，而是有意滲透一些演繹推理，引導學生用推理、論證的方法根據已有的知識推出這個結論。關于“長方體棱的條數和頂點個數”，不滿足于學生能“數”出正確的結果（逐個計數或按群計數），還引導學生在計數的基礎上進一步從已有的知識進行推算，從而實現了“直觀幾何、實驗幾何與論證幾何的結合”，有效培養了學生的推理能力，促進了理性思維的發展。上述教學的成功，也再次說明“好的教學活動，應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統一”。教師的精心設問和引導有效地啟發了學生的思考，使學生真正成為學習的主體。

教學片段二：

（出示長方體直觀圖）

師：請大家仔細觀察這個“長方體直觀圖”，記住它的形狀和大小，然后閉上眼睛在腦海里想象這個長方體的樣子。

生閉眼想象。

師：如果擦去一條棱，你還能想象出這個長方體的形狀和大小嗎？（課件演示擦去一條棱）

生：能。因為相對的棱長度相等，我看到下面的棱，就能想到上面的棱的長度了。

生：我是想“面”的，因為相對的面完全相同，我看到“后面”的樣子，就想到了“前面”。

師：如果再擦去三條棱，你還能想象出原來的樣子嗎？（課件演示）

生：能。根據“相對的面完全相同”就能想到不完整的面是什么樣子。

課件演示：又陸續擦去幾條棱，只剩下相交于一個頂點的三條棱。

師：如果再擦去水平方向的這條棱，你還能想到這個長方體的形狀和大小嗎？（課件演示）

生：不能了，不知道它到底有多長了。

師：如果不擦去它，而是擦去別的棱呢？

生：也不行，因為就不知道這個長方體有多高、多寬了。

生：老師，我發現了，相交于一個頂點的這三條棱都不能擦去，無論少了哪一條，長方體的形狀和大小就不確定了。

師：長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫做它的長、寬、高。長方體的長、寬、高決定著長方體的形狀和大小。

思考：“教材是教學法的顛倒。”（弗賴登塔爾）“將冰冷的美麗轉化為火熱的思考。”需要教師把教材內容動態化，而不僅僅是靜態呈現。教學不僅僅是教結果，更重要的是揭示知識的數學實質，讓學生理解結果是怎么得出來的，體會數學知識之間的關系，學會怎樣去想問題。

在數學教學中，學生是否理解一個概念不在于能否說出它的“定義”，而在于能否把握概念的本質，能否在具體情境中運用該概念解決問題。就“長、寬、高”的教學而言，知道“長、寬、高的定義”，是否就意味著學生理解了長、寬、高對于長方體的重要性？恐怕未必。而經歷了上述“觀察—想象—歸納”的學習過程，學生才深刻地體會到“長、寬、高決定著長方體的形狀和大小，一旦長、寬、高確定了，長方體的形狀和大小也就確定了”。

教學片段三：

先出示“小棒圖”（如圖1所示），讓學生判斷“下面的小棒能不能搭成一個長方體”；再通過課件對小棒進行整理（如圖2所示）；然后讓學生去想象搭成的長方體會是怎樣的；最后再課件分步演示，形成完整的長方體（如圖3、圖4所示）。

思考：“長方體的特征”如何才能深入腦海？如何才能在需要運用的時候靈活調用？這僅憑之前的實物觸摸、課件觀察還遠遠不夠，尚需要依賴于豐富的數學活動作支撐。需要指出的是，教學中僅有“活動”是不夠的，應該追問“活動為了什么”。那些有明確的數學內涵和數學目的，體現數學的本質的“活動”，才能稱得上“數學活動”。數學活動更強調“動腦”，不能把數學活動僅僅停留在“手和口”的層面上，而要更多地聚焦在“數學思維”的層面上。

基于此，才安排了上述“判斷下面的小棒能不能搭成一個長方體”的數學活動，變“動手操作”為“動腦操作”，讓學生應用長方體特征解決問題。如果小棒圖中的小棒可以找到3組，每組都有長度相等的4根小棒，那么這些小棒就可以搭成一個長方體，否則不能。判斷的過程是對長方體棱的特征的應用。同時，觀察并比較小棒的長短，讓靜止的小棒通過想象搭起來，根據部分想象整體，這樣的數學活動可以有效地發展學生的空間觀念。