關于“數學是什么”的思考

陳士文 周建軍

“當人們發現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了。”（英國數學家羅素語）

那么數學是什么呢？高斯說：“數學是科學的皇后。”伽利略說：“數學是上帝用來書寫宇宙的文字。”愛因斯坦說：“這個世界可以由音樂組成，也可以由數學公式組成。”

數學身份尊貴，地位顯赫，無之不可。“科學皇后”“宇宙文字”“世界組成”都是詩化的語言和比喻的描述，從學術的角度上，并未回答出“數學是什么”。

讓我們打開浙江師范大學張維忠教授的專著《數學文化與數學課程》：“數學對象終究不是物質世界中的真實存在，而是抽象思維的產物，它是一種人為約定的規則系統。為了描繪世界，數學家們總是在發明新的描述形式，除了在科學技術方面的應用外，同樣還具有精神領域的功效（比如通常人們所說的數學觀念，如推理意識、化歸意識、整體意識、抽象意識、數學審美意識等）。因此，從以上兩方面的意義上來說，數學就是一種文化。”

張維忠教授認為數學是一種文化，《數學文化與數學課程》一書的第四章《數學的文化價值》從六個方面加以闡述，即：“數學——打開科學大門的鑰匙；數學——科學的語言；數學——思維的工具；數學——一種思想方法；數學——理性的藝術；數學——充滿理性精神。”

無獨有偶，東南大學博士生導師王元明教授的觀點與之是英雄所見略同，其所著的《數學是什么》分四個要點闡述，意在回答“數學是什么”：1.數學是一種語言，一切科學的共同語言。2.數學是一把鑰匙，一把打開科學大門的鑰匙。3.數學是一種工具，一種思維的工具。4.數學是一門藝術，一門創造的藝術。

綜合兩位教授的觀點，“鑰匙”“語言”“工具”“藝術”等名詞依然是譬喻。數學的本質是什么呢？甘肅政法學院計算機學院王汝發教授撰寫了《關于“數學是什么”的哲學反思》一文，文中把對“數學是什么”的回答歸為兩類，摘要如下：

隱喻性回答：

1.數學是打開科學大門的鑰匙。因為“數學是一門科學”這是我們大家公認的，而自己是打開自己大門的鑰匙！這似乎有點解釋不通，這對于“數學是什么”的問題來說又似乎什么都沒說——試問哪一門學科不是打開科學大門的鑰匙？

2.數學是科學的語言。數學和語言在許多方面是不同的，如孫宏安所說：“不僅外延有較大的不同，而且種屬關系也不一致。”因此這種比喻不但沒有解決數學問題的性質，甚至本身也有不能自圓其說之嫌。

3.數學是思維的工具。認為數學是思維的科學，一個是工具而另一個是科學，將二者聯系起來就有點邏輯問題，因為科學與工具相差還是很大的。

4.數學是理性的藝術。數學與藝術有著很多的本質不同，因為數學講究的是論證簡潔、推理嚴謹、文體優美、思路清晰、形式對稱等，而藝術則是一種創作，要求特立獨行、張揚個性，不允許有雷同。

5.數學是一種理性精神。說數學是一種理性的精神，仍需重新面對“數學是什么”的問題。

實質性回答：

1.形式傾向性說法。數學是一門演繹科學。推動數學發展的主要動力是歸納而不是演繹，這種說法側重于數學的演繹性而忽略了數學的經驗性特點，并不能反映數學的全貌。

2.綜合性說法。數學是一門演算的科學。直接將“演”“算”——演繹證明作為“數學是什么”來回答等于又回到原來的問題；其次是計算機技術已從數學學科中分離出來，已經成了一門獨立的學科，因此這種定義仍不能令人滿意。

3.對象性說法。數學是研究數與形的科學。這種定義在過去數學發展的一定時期內是極其精辟和完美無缺的，但數學的發展使其原來的定義已無法適應新形勢下數學發展的需要。

反思終歸是反思，好像并未立論。就此為止，我們仍未得到“數學是什么”的本質回答，究竟數學是不是一門演算的科學？

中國社會科學院哲學所教授林夏水撰文《論數學的本質》，認為：“‘演算概括了數學研究的特點，反映了數學的經驗性與演繹性及其辯證關系，我們有理由把它作為對數學本（性）質的概括，說‘數學是一門演算的科學。”

隨即，陜西師范大學數學與信息科學學院教授黃秦安提出反對意見。黃秦安教授在《我們應該如何認識數學的本質——對林夏水先生“論數學的本質”一文的商榷》一文中寫道：

“從邏輯的角度看，‘數學是一門演算的科學的結論既有定義過寬的缺點，又有定義過窄的缺陷。如果數學可以歸結為‘演與算，那計算機就是水平最高的數學家了。”

文摘摘到現在，我們并沒有從學術的角度，把數學與哲學、數學與科學、數學與藝術作比較研究。當我們讀到中國科學院數學研究所教授胡作玄的專著《數學是什么》時，我們有了新的認識。胡作玄教授從比較的視角著力分辨出數學本質的不同之處。

數學與哲學的區別：

1.哲學較大程度上是主觀知識，而數學則是客觀知識。

2.哲學圍繞少數偉大的哲學家的論題發展，數學則是積累的、不斷進步的、逐步系統化的知識領域。

3.哲學和數學各有其關聯的范圍：哲學關聯的范圍廣，但強度弱；數學關聯度強，它把許多領域轉化為科學。

數學與科學的區別：

1.自然科學以現實世界的事物及對象為對象；數學則以抽象模型、抽象形式、抽象關系為對象，這樣的對象可以來自自然界，也可來自社會，其后來自原有概念的演化及加工。

2.自然科學的目標是尋求對客觀事實的解釋，建立理論并提出可證實或證偽的預言，這些往往稱為定律或規律；數學的目標則是尋求概念之間的邏輯關系，其結果形成定理或算法。

3.自然科學的確證必須靠觀察和實驗的經驗證明，當然它也依賴于理論的結果與已知確證的理論不相矛盾。自然科學是站在理論和實驗兩條腿的基礎上；數學只有一條腿，即邏輯的無矛盾性。

4.自然科學的“真理”有其近似性和相對性，而數學的真理則是絕對的和不朽的。

5.自然科學工作的本質是發現，數學工作的本質是發明。

數學與藝術的區別：

1.數學求真，藝術求美。真對數學來說是第一性的，而美是第二性的。

2.數學具有積累性、進步性、歷史性，數學同一領域的結果有可比性；藝術則缺乏可比性，既沒有橫向的可比性，也沒有歷史的可比性。

3.數學強調一般性、統一性，數學的理解有程序性，也就是需要按部就班的學習與掌握，大部分數學缺少直觀性常常構成理解上的困難；而藝術強調個性、特殊性，但并不因此更難理解，因為藝術作品帶有直觀性和直感性。藝術理解的困難在于對情境的陌生。

《什么是數學》是由美國兩位數學教授柯朗、羅賓合著的，美國數學教授斯圖爾特在修訂版的《什么是數學》一書的序言中申明：

“《什么是數學》這本書是一本數學經典名著，它收集許多閃光的數學珍品。它的目標之一是反擊這樣的思想：‘數學不是別的東西，而只是從定義和公理推導出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數學家根據他們的意志隨意創造。”

柯朗、羅賓認為：“數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性。唯一能回答‘什么是數學這個問題的，不是哲學，而是數學本身的活生生的經驗。”

同樣，我們可以讀到浙江大學教授蔡天新在《數學與人類文明》一書中的觀點：“數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類進化和智力發展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然呈現出某種相通的特性，甚至相互影響。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先后探討了數學與各式各樣的文明之間的關系。例如，埃及和巴比倫的數學源于人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自歷法改革，印度數學的源泉始于宗教，而波斯數學和天文學互不分離。進入20世紀以后，抽象化成為數學和人文的共性。”

數學不僅來源于人們生存的需要，最終也還是要返回到這個世界中去的。

邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性、抽象化……這是數學的本質嗎？還有“數學是關于數和形的科學”“數學是關于模式和結構的科學”等，不同時代不同論述，難道我們莫衷一是嗎？還是歷史辯證的分析呢？且看下面的觀點：

關于數學本質的問題是一個具有時代性、前瞻性、發展性、綜合性的數學、哲學核心問題。在數學的任何發展階段都不可能有固定的、永恒不變的答案，這應該成為數學哲學研究的一條認識論原則。單純片面地從某個角度去看數學的本質都是有失偏頗的。

——摘自陜西師范大學教授黃秦安《我們應該如何認識數學的本質》

對數學本質的認識更多地取決于對數學的心靈感悟，這才是接近數學、走進數學、研究數學和發現數學真理的不竭動力源泉。

對數學本質的認識，是數學認識的一個根本性問題，也是數學教育論的一個根本性問題。

人們對數學的不同感受可以得出對數學本質完全不同的認識，從不同的角度觀察數學也可以得出對數學本質的不同理解。所以，對數學本質下一個統一的定義，既不大可能，也沒有必要。并且，我們最好不要花太多的精力去思考哪一個關于數學本質的定義更合乎自己的認識，因為這是無關緊要的。對數學本質的認識更多地取決于對數學的心靈感悟，這才是接近數學、走進數學、研究數學和發現數學真理的不竭動力源泉。

——摘自湖南大學衡陽分校副教授黃光榮《對數學本質的認識》

不想再摘了，摘多了，可能會應了法國數學家安德烈·韋伊的話：“數學的特別之處，就是它不能為非數學家所理解。”

我們要思考！我們不是數學家，我們是數學教育工作者，我們是小學數學教育工作者。那么小學數學是什么？小學數學教育是什么？

中國科學院院士張景中提出了從“數學教育”到“教育數學”的觀點。張景中、曹培生教授合著《從數學教育到教育數學》（中國少年兒童出版社出版）一書的前言及后記中這樣寫道：“為了教育的需要，對數學研究成果進行再造式的整理，提供適于教學法加工的材料，往往需要數學上的創新，這屬于教育數學的任務。

所謂教育數學，就是為了教育而做數學。它和數學教育有關系，但又不相同。數學教育著眼于教學法和如何對數學材料進行教學法的加工，是為了數學而做教育，并不承擔數學上的創造工作，也就是并不做數學；教育數學則實實在在是要做數學的。”

英國數學家阿蒂亞說：“數學的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界。如果我們積累起來的生活經驗要一代代傳下去，就必須不斷地努力把它們簡化和統一。”

波蘭數學家馬克·卡茨說：“推廣與抽象是數學最重要的工作。正是由于推廣與抽象，數學才能具有如此不可思議的有效性。”

簡化和統一、推廣和抽象……就是為了教育而做數學——教育數學。

文章寫到此，我們應該明白了，我們不是從數學家的角度為數學定義，而是為小學數學，為小學數學教育，為了小學生享受數學教育。

“對數學本質的認識更多地取決于對數學的心靈感悟，這才是接近數學、走進數學、研究數學和發現數學真理的不竭動力源泉。”（黃光榮語）我的心靈感悟是“智慧數學”，數學是一種智慧，數學教育為了學生智慧的生長。小學數學教育，為什么不是“智慧數學”呢？

我們在思考：數學帶給我們的是什么呢？

數學家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數學來表達。”這是數學應用的廣泛性，那么這種應用是不是數學簡單的“被應用”呢？這讓我們想起海王星的發現，海王星的發現不是望遠鏡的應用，實質是數學的預測，望遠鏡只是確證而已。

再者，是電腦應用了數學的二進制呢，還是數學促成了電腦的發明呢？

顯然，數學不是簡單的“被應用”。我們向前倒溯，在數學應用之前呢？是什么在推動著我們？我們在數學教育中的收獲是什么呢？

讓我們來品味美國數學家、教育家克萊因的感悟：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”

數學是否能“給予一切”，也許我們不能完全參透克萊因先生之意，但這“一切”中的“一”是什么呢？是“撫慰情懷”？是“賞心悅目”？是“動人心弦”？還是“獲得智慧”呢？

我們想起曾入選全球最偉大的十大公式之一：“1+1=2。”

1+1=2，是1片樹葉+1片樹葉=2片樹葉，也可以是1棵樹+1棵樹=2棵樹，還可以是1座森林+1座森林=2座森林……總之，數學將它們統統抽象為1+1=2，此乃整體的視野、簡潔的智慧，也應哲人論斷：“簡潔乃天才之姊妹。”

1+1=2嗎？1座森林+1座森林抑或還是1座森林，1+1=1，無限+無限=無限，哈哈！1+1=2與1+1=1竟如此和諧相處。

數學沒有止于1+1=2、1+1=1，不是還有1+1=10嗎？（數學十進制是1+1=2，二進制是1+1=10）這是數學多向探索的自由，這是數學發明創造的智慧。

“哲學使人獲得智慧”，而“數學是辯證法的姊妹”。哲學家恩格斯曾感慨：“沒有數學，看不到哲學的深度，沒有哲學，看不到數學的深度，而沒有兩者，人們就什么也看不透。”哲學是關乎人和世界本原的思考，數學是人和世界發展的智慧；哲學的本意是愛智慧，數學是不是就是智慧呢？

我們在繼續思考，數學是什么？小學數學是什么？小學數學教育是什么？？筻

此文是全國教育科學規劃單位資助教育部規劃課題——《小學數學課程核心內容（智慧數學）及其教學的研究》的成果（課題批準號：FFB108202）。