關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的思考

陳士文 周建軍

“當(dāng)人們發(fā)現(xiàn)一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數(shù)字2）時，數(shù)學(xué)就誕生了。”（英國數(shù)學(xué)家羅素語）

那么數(shù)學(xué)是什么呢？高斯說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。”伽利略說：“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字。”愛因斯坦說：“這個世界可以由音樂組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成。”

數(shù)學(xué)身份尊貴，地位顯赫，無之不可。“科學(xué)皇后”“宇宙文字”“世界組成”都是詩化的語言和比喻的描述，從學(xué)術(shù)的角度上，并未回答出“數(shù)學(xué)是什么”。

讓我們打開浙江師范大學(xué)張維忠教授的專著《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程》：“數(shù)學(xué)對象終究不是物質(zhì)世界中的真實存在，而是抽象思維的產(chǎn)物，它是一種人為約定的規(guī)則系統(tǒng)。為了描繪世界，數(shù)學(xué)家們總是在發(fā)明新的描述形式，除了在科學(xué)技術(shù)方面的應(yīng)用外，同樣還具有精神領(lǐng)域的功效（比如通常人們所說的數(shù)學(xué)觀念，如推理意識、化歸意識、整體意識、抽象意識、數(shù)學(xué)審美意識等）。因此，從以上兩方面的意義上來說，數(shù)學(xué)就是一種文化。”

張維忠教授認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種文化，《數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程》一書的第四章《數(shù)學(xué)的文化價值》從六個方面加以闡述，即：“數(shù)學(xué)——打開科學(xué)大門的鑰匙；數(shù)學(xué)——科學(xué)的語言；數(shù)學(xué)——思維的工具；數(shù)學(xué)——一種思想方法；數(shù)學(xué)——理性的藝術(shù)；數(shù)學(xué)——充滿理性精神。”

無獨有偶，東南大學(xué)博士生導(dǎo)師王元明教授的觀點與之是英雄所見略同，其所著的《數(shù)學(xué)是什么》分四個要點闡述，意在回答“數(shù)學(xué)是什么”：1.數(shù)學(xué)是一種語言，一切科學(xué)的共同語言。2.數(shù)學(xué)是一把鑰匙，一把打開科學(xué)大門的鑰匙。3.數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具。4.數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造的藝術(shù)。

綜合兩位教授的觀點，“鑰匙”“語言”“工具”“藝術(shù)”等名詞依然是譬喻。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么呢？甘肅政法學(xué)院計算機學(xué)院王汝發(fā)教授撰寫了《關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的哲學(xué)反思》一文，文中把對“數(shù)學(xué)是什么”的回答歸為兩類，摘要如下：

隱喻性回答：

1.數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙。因為“數(shù)學(xué)是一門科學(xué)”這是我們大家公認(rèn)的，而自己是打開自己大門的鑰匙！這似乎有點解釋不通，這對于“數(shù)學(xué)是什么”的問題來說又似乎什么都沒說——試問哪一門學(xué)科不是打開科學(xué)大門的鑰匙？

2.數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言。數(shù)學(xué)和語言在許多方面是不同的，如孫宏安所說：“不僅外延有較大的不同，而且種屬關(guān)系也不一致。”因此這種比喻不但沒有解決數(shù)學(xué)問題的性質(zhì)，甚至本身也有不能自圓其說之嫌。

3.數(shù)學(xué)是思維的工具。認(rèn)為數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，一個是工具而另一個是科學(xué)，將二者聯(lián)系起來就有點邏輯問題，因為科學(xué)與工具相差還是很大的。

4.數(shù)學(xué)是理性的藝術(shù)。數(shù)學(xué)與藝術(shù)有著很多的本質(zhì)不同，因為數(shù)學(xué)講究的是論證簡潔、推理嚴(yán)謹(jǐn)、文體優(yōu)美、思路清晰、形式對稱等，而藝術(shù)則是一種創(chuàng)作，要求特立獨行、張揚個性，不允許有雷同。

5.數(shù)學(xué)是一種理性精神。說數(shù)學(xué)是一種理性的精神，仍需重新面對“數(shù)學(xué)是什么”的問題。

實質(zhì)性回答：

1.形式傾向性說法。數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)。推動數(shù)學(xué)發(fā)展的主要動力是歸納而不是演繹，這種說法側(cè)重于數(shù)學(xué)的演繹性而忽略了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性特點，并不能反映數(shù)學(xué)的全貌。

2.綜合性說法。數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)。直接將“演”“算”——演繹證明作為“數(shù)學(xué)是什么”來回答等于又回到原來的問題；其次是計算機技術(shù)已從數(shù)學(xué)學(xué)科中分離出來，已經(jīng)成了一門獨立的學(xué)科，因此這種定義仍不能令人滿意。

3.對象性說法。數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的科學(xué)。這種定義在過去數(shù)學(xué)發(fā)展的一定時期內(nèi)是極其精辟和完美無缺的，但數(shù)學(xué)的發(fā)展使其原來的定義已無法適應(yīng)新形勢下數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。

反思終歸是反思，好像并未立論。就此為止，我們?nèi)晕吹玫健皵?shù)學(xué)是什么”的本質(zhì)回答，究竟數(shù)學(xué)是不是一門演算的科學(xué)？

中國社會科學(xué)院哲學(xué)所教授林夏水撰文《論數(shù)學(xué)的本質(zhì)》，認(rèn)為：“‘演算概括了數(shù)學(xué)研究的特點，反映了數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性與演繹性及其辯證關(guān)系，我們有理由把它作為對數(shù)學(xué)本（性）質(zhì)的概括，說‘?dāng)?shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)。”

隨即，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授黃秦安提出反對意見。黃秦安教授在《我們應(yīng)該如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)——對林夏水先生“論數(shù)學(xué)的本質(zhì)”一文的商榷》一文中寫道：

“從邏輯的角度看，‘?dāng)?shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)的結(jié)論既有定義過寬的缺點，又有定義過窄的缺陷。如果數(shù)學(xué)可以歸結(jié)為‘演與算，那計算機就是水平最高的數(shù)學(xué)家了。”

文摘摘到現(xiàn)在，我們并沒有從學(xué)術(shù)的角度，把數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與藝術(shù)作比較研究。當(dāng)我們讀到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所教授胡作玄的專著《數(shù)學(xué)是什么》時，我們有了新的認(rèn)識。胡作玄教授從比較的視角著力分辨出數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同之處。

數(shù)學(xué)與哲學(xué)的區(qū)別：

1.哲學(xué)較大程度上是主觀知識，而數(shù)學(xué)則是客觀知識。

2.哲學(xué)圍繞少數(shù)偉大的哲學(xué)家的論題發(fā)展，數(shù)學(xué)則是積累的、不斷進步的、逐步系統(tǒng)化的知識領(lǐng)域。

3.哲學(xué)和數(shù)學(xué)各有其關(guān)聯(lián)的范圍：哲學(xué)關(guān)聯(lián)的范圍廣，但強度弱；數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)度強，它把許多領(lǐng)域轉(zhuǎn)化為科學(xué)。

數(shù)學(xué)與科學(xué)的區(qū)別：

1.自然科學(xué)以現(xiàn)實世界的事物及對象為對象；數(shù)學(xué)則以抽象模型、抽象形式、抽象關(guān)系為對象，這樣的對象可以來自自然界，也可來自社會，其后來自原有概念的演化及加工。

2.自然科學(xué)的目標(biāo)是尋求對客觀事實的解釋，建立理論并提出可證實或證偽的預(yù)言，這些往往稱為定律或規(guī)律；數(shù)學(xué)的目標(biāo)則是尋求概念之間的邏輯關(guān)系，其結(jié)果形成定理或算法。

3.自然科學(xué)的確證必須靠觀察和實驗的經(jīng)驗證明，當(dāng)然它也依賴于理論的結(jié)果與已知確證的理論不相矛盾。自然科學(xué)是站在理論和實驗兩條腿的基礎(chǔ)上；數(shù)學(xué)只有一條腿，即邏輯的無矛盾性。

4.自然科學(xué)的“真理”有其近似性和相對性，而數(shù)學(xué)的真理則是絕對的和不朽的。

5.自然科學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)工作的本質(zhì)是發(fā)明。

數(shù)學(xué)與藝術(shù)的區(qū)別：

1.數(shù)學(xué)求真，藝術(shù)求美。真對數(shù)學(xué)來說是第一性的，而美是第二性的。

2.數(shù)學(xué)具有積累性、進步性、歷史性，數(shù)學(xué)同一領(lǐng)域的結(jié)果有可比性；藝術(shù)則缺乏可比性，既沒有橫向的可比性，也沒有歷史的可比性。

3.數(shù)學(xué)強調(diào)一般性、統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)的理解有程序性，也就是需要按部就班的學(xué)習(xí)與掌握，大部分?jǐn)?shù)學(xué)缺少直觀性常常構(gòu)成理解上的困難；而藝術(shù)強調(diào)個性、特殊性，但并不因此更難理解，因為藝術(shù)作品帶有直觀性和直感性。藝術(shù)理解的困難在于對情境的陌生。

《什么是數(shù)學(xué)》是由美國兩位數(shù)學(xué)教授柯朗、羅賓合著的，美國數(shù)學(xué)教授斯圖爾特在修訂版的《什么是數(shù)學(xué)》一書的序言中申明：

“《什么是數(shù)學(xué)》這本書是一本數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，它收集許多閃光的數(shù)學(xué)珍品。它的目標(biāo)之一是反擊這樣的思想：‘?dāng)?shù)學(xué)不是別的東西，而只是從定義和公理推導(dǎo)出來的一組結(jié)論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數(shù)學(xué)家根據(jù)他們的意志隨意創(chuàng)造。”

柯朗、羅賓認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非蟆Ｋ幕疽厥牵哼壿嫼椭庇^、分析和構(gòu)作、一般性和個別性。唯一能回答‘什么是數(shù)學(xué)這個問題的，不是哲學(xué)，而是數(shù)學(xué)本身的活生生的經(jīng)驗。”

同樣，我們可以讀到浙江大學(xué)教授蔡天新在《數(shù)學(xué)與人類文明》一書中的觀點：“數(shù)學(xué)與科學(xué)、人文的各個分支一樣，都是人類進化和智力發(fā)展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然呈現(xiàn)出某種相通的特性，甚至相互影響。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先后探討了數(shù)學(xué)與各式各樣的文明之間的關(guān)系。例如，埃及和巴比倫的數(shù)學(xué)源于人們生存的需要，希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)密切相關(guān)，中國數(shù)學(xué)的活力來自歷法改革，印度數(shù)學(xué)的源泉始于宗教，而波斯數(shù)學(xué)和天文學(xué)互不分離。進入20世紀(jì)以后，抽象化成為數(shù)學(xué)和人文的共性。”

數(shù)學(xué)不僅來源于人們生存的需要，最終也還是要返回到這個世界中去的。

邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個別性、抽象化……這是數(shù)學(xué)的本質(zhì)嗎？還有“數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)和形的科學(xué)”“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和結(jié)構(gòu)的科學(xué)”等，不同時代不同論述，難道我們莫衷一是嗎？還是歷史辯證的分析呢？且看下面的觀點：

關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題是一個具有時代性、前瞻性、發(fā)展性、綜合性的數(shù)學(xué)、哲學(xué)核心問題。在數(shù)學(xué)的任何發(fā)展階段都不可能有固定的、永恒不變的答案，這應(yīng)該成為數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一條認(rèn)識論原則。單純片面地從某個角度去看數(shù)學(xué)的本質(zhì)都是有失偏頗的。

——摘自陜西師范大學(xué)教授黃秦安《我們應(yīng)該如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)》

對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉。

對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)認(rèn)識的一個根本性問題，也是數(shù)學(xué)教育論的一個根本性問題。

人們對數(shù)學(xué)的不同感受可以得出對數(shù)學(xué)本質(zhì)完全不同的認(rèn)識，從不同的角度觀察數(shù)學(xué)也可以得出對數(shù)學(xué)本質(zhì)的不同理解。所以，對數(shù)學(xué)本質(zhì)下一個統(tǒng)一的定義，既不大可能，也沒有必要。并且，我們最好不要花太多的精力去思考哪一個關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的定義更合乎自己的認(rèn)識，因為這是無關(guān)緊要的。對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉。

——摘自湖南大學(xué)衡陽分校副教授黃光榮《對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識》

不想再摘了，摘多了，可能會應(yīng)了法國數(shù)學(xué)家安德烈·韋伊的話：“數(shù)學(xué)的特別之處，就是它不能為非數(shù)學(xué)家所理解。”

我們要思考！我們不是數(shù)學(xué)家，我們是數(shù)學(xué)教育工作者，我們是小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者。那么小學(xué)數(shù)學(xué)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教育是什么？

中國科學(xué)院院士張景中提出了從“數(shù)學(xué)教育”到“教育數(shù)學(xué)”的觀點。張景中、曹培生教授合著《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》（中國少年兒童出版社出版）一書的前言及后記中這樣寫道：“為了教育的需要，對數(shù)學(xué)研究成果進行再造式的整理，提供適于教學(xué)法加工的材料，往往需要數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新，這屬于教育數(shù)學(xué)的任務(wù)。

所謂教育數(shù)學(xué)，就是為了教育而做數(shù)學(xué)。它和數(shù)學(xué)教育有關(guān)系，但又不相同。數(shù)學(xué)教育著眼于教學(xué)法和如何對數(shù)學(xué)材料進行教學(xué)法的加工，是為了數(shù)學(xué)而做教育，并不承擔(dān)數(shù)學(xué)上的創(chuàng)造工作，也就是并不做數(shù)學(xué)；教育數(shù)學(xué)則實實在在是要做數(shù)學(xué)的。”

英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞說：“數(shù)學(xué)的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能地多解釋世界。如果我們積累起來的生活經(jīng)驗要一代代傳下去，就必須不斷地努力把它們簡化和統(tǒng)一。”

波蘭數(shù)學(xué)家馬克·卡茨說：“推廣與抽象是數(shù)學(xué)最重要的工作。正是由于推廣與抽象，數(shù)學(xué)才能具有如此不可思議的有效性。”

簡化和統(tǒng)一、推廣和抽象……就是為了教育而做數(shù)學(xué)——教育數(shù)學(xué)。

文章寫到此，我們應(yīng)該明白了，我們不是從數(shù)學(xué)家的角度為數(shù)學(xué)定義，而是為小學(xué)數(shù)學(xué)，為小學(xué)數(shù)學(xué)教育，為了小學(xué)生享受數(shù)學(xué)教育。

“對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識更多地取決于對數(shù)學(xué)的心靈感悟，這才是接近數(shù)學(xué)、走進數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的不竭動力源泉。”（黃光榮語）我的心靈感悟是“智慧數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)是一種智慧，數(shù)學(xué)教育為了學(xué)生智慧的生長。小學(xué)數(shù)學(xué)教育，為什么不是“智慧數(shù)學(xué)”呢？

我們在思考：數(shù)學(xué)帶給我們的是什么呢？

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁……無一不可用數(shù)學(xué)來表達。”這是數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，那么這種應(yīng)用是不是數(shù)學(xué)簡單的“被應(yīng)用”呢？這讓我們想起海王星的發(fā)現(xiàn)，海王星的發(fā)現(xiàn)不是望遠(yuǎn)鏡的應(yīng)用，實質(zhì)是數(shù)學(xué)的預(yù)測，望遠(yuǎn)鏡只是確證而已。

再者，是電腦應(yīng)用了數(shù)學(xué)的二進制呢，還是數(shù)學(xué)促成了電腦的發(fā)明呢？

顯然，數(shù)學(xué)不是簡單的“被應(yīng)用”。我們向前倒溯，在數(shù)學(xué)應(yīng)用之前呢？是什么在推動著我們？我們在數(shù)學(xué)教育中的收獲是什么呢？

讓我們來品味美國數(shù)學(xué)家、教育家克萊因的感悟：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切。”

數(shù)學(xué)是否能“給予一切”，也許我們不能完全參透克萊因先生之意，但這“一切”中的“一”是什么呢？是“撫慰情懷”？是“賞心悅目”？是“動人心弦”？還是“獲得智慧”呢？

我們想起曾入選全球最偉大的十大公式之一：“1+1=2。”

1+1=2，是1片樹葉+1片樹葉=2片樹葉，也可以是1棵樹+1棵樹=2棵樹，還可以是1座森林+1座森林=2座森林……總之，數(shù)學(xué)將它們統(tǒng)統(tǒng)抽象為1+1=2，此乃整體的視野、簡潔的智慧，也應(yīng)哲人論斷：“簡潔乃天才之姊妹。”

1+1=2嗎？1座森林+1座森林抑或還是1座森林，1+1=1，無限+無限=無限，哈哈！1+1=2與1+1=1竟如此和諧相處。

數(shù)學(xué)沒有止于1+1=2、1+1=1，不是還有1+1=10嗎？（數(shù)學(xué)十進制是1+1=2，二進制是1+1=10）這是數(shù)學(xué)多向探索的自由，這是數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的智慧。

“哲學(xué)使人獲得智慧”，而“數(shù)學(xué)是辯證法的姊妹”。哲學(xué)家恩格斯曾感慨：“沒有數(shù)學(xué)，看不到哲學(xué)的深度，沒有哲學(xué)，看不到數(shù)學(xué)的深度，而沒有兩者，人們就什么也看不透。”哲學(xué)是關(guān)乎人和世界本原的思考，數(shù)學(xué)是人和世界發(fā)展的智慧；哲學(xué)的本意是愛智慧，數(shù)學(xué)是不是就是智慧呢？

我們在繼續(xù)思考，數(shù)學(xué)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教育是什么？？筻

此文是全國教育科學(xué)規(guī)劃單位資助教育部規(guī)劃課題——《小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容（智慧數(shù)學(xué)）及其教學(xué)的研究》的成果（課題批準(zhǔn)號：FFB108202）。