打造呈現數學本質的綜合實踐課

強震球

《數學課程標準》中的“綜合與實踐”領域，是數學課程設置的一個全新內容，也是新課程的特色之一。這一領域的設置，有機溝通了生活中的數學與課堂數學的聯系，可以更好地幫助孩子們樹立正確的數學觀。精選的教學內容使得數學各領域之間和某一領域內的知識交織在一起，使發展學生綜合應用知識的能力成為必須；教學過程的組織對于改善學生的學習方式，在探索與解決問題的過程中加深對相關數學知識的理解和整體性認識，以及發展數學思維能力等都有重大意義。

“奇妙的圖形密鋪”是蘇教版小學數學五年級下冊的一節綜合實踐活動課，教材按照“現象解讀，感性認識—數學活動，理性探究—拓展介紹，深化認識—自主創作，反思提升”的線索，切實引導學生經歷數學學習過程，深刻理解“圖形獨立密鋪”的重要特性。

【案例回放】

一、感性認識“密鋪”

1.生活情境引入“密鋪”：逐個出示用正六邊形、正方形、長方形磚鋪成的地面或墻面圖。（多媒體展示）

師：仔細觀察，用這些磚鋪在地面或墻面上有什么共同點？（同一種形狀連續鋪，沒有空隙，鋪在同一平面）

2.抽象圖形初步認識“密鋪”：正六邊形、正方形、長方形磚將其抽象出平面圖形，這些平面圖形的鋪法又有什么特點？像這樣的鋪法叫做“密鋪”。

3.對比辨析深刻認識“密鋪”：用圓形鋪，下面的鋪法是密鋪嗎？（多媒體逐個出示兩個圖片）密鋪的特點是什么？

4.生活舉例說說“密鋪”：在日常生活中，你們看到過哪些密鋪現象？

二、理性認識“密鋪”（一種圖形的獨立密鋪）

1.呈現問題：說說看，我們還認識過哪些平面圖形？（呈現平行四邊形、等腰梯形、正三角形、橢圓形）長方形、正方形顯然是能密鋪的，其他幾種圖形也能密鋪嗎？

2.猜想判斷：猜一猜，在可以密鋪的圖形下面打“√”。

3.動手驗證：究竟可不可以，數學要用事實說話，動手證明你們的猜想。（動手鋪一鋪）

4.舉例認識“密鋪特性”：誰來證明平行四邊形能密鋪？（展示平行四邊形的多樣鋪法）平行四邊形密鋪過程中要注意什么？（同邊拼接）

5.溝通提升認識“密鋪特性”：正三角形、等腰梯形能密鋪嗎？密鋪時要注意什么？老師剛才巡視時發現有同學用正三角形、等腰梯形鋪的時候速度非常快，是不是有巧妙的鋪法？（兩個一樣的三角形能拼成一個平行四邊形，平行四邊形是能密鋪的，所以三角形也能密鋪。梯形是同樣的道理）閉眼想象一下，媒體動態演示。所有的三角形、梯形也是能獨立密鋪的。

小結：看來學過的同一種直線圖形是能密鋪的。

6.深入數學，認識“密鋪特性”。

（1）提問：老師這兒還有兩種直線圖形（呈現正五邊形和正六邊形），這兩種圖形分別能密鋪嗎？（生猜，動手驗證）

（2）追問：為什么正六邊形可以密鋪，正五邊形不可以密鋪呢？圖形密鋪除了“看邊”，還要關注圖形的什么？（關注拼接點圖形的角：能拼成一個周角360°）媒體動態演示。

（3）鞏固說理：你們能用這個道理來解釋正方形、正三角形為什么能密鋪嗎？（看圖說理）

（4）判斷說理：正五邊形不能密鋪的道理明白了嗎？那老師這里的一個任意四邊形它能密鋪嗎？直接判斷，先說理由，再動手驗證。（媒體演示）

7.思辨總結：判斷一種圖形的獨立密鋪既要關注圖形的邊——相同邊拼接，更要關注拼接點圖形的角。

三、拓展認識“組合密鋪”

1.談話“想組合”：用正五邊形一種圖形不能密鋪，怎么能做到密鋪呢？（多媒體演示：加圖形，保證無空隙，不重疊）

2.欣賞“贊組合”：圖片展示組合密鋪，說說感受。

3.動手“試組合”：從七巧板中選出兩種不同的圖形密鋪一個平面。

4.設計交流平面圖形密鋪：用兩種不同的圖形進行密鋪，在方格紙上畫出你設計的圖案。

【課后反思】

“奇妙的圖形密鋪”是一次根據有關平面圖形特點進行觀察、操作、思考和簡單設計的活動。通過活動讓學生進一步了解有關平面圖形的特征，感受數學學習的樂趣，體會數學知識與方法在生活中的廣泛應用。教學時，教師往往花費大量的時間，引領學生動手操作感知“有些平面圖形可以密鋪，有些不能；有的可以用兩種平面圖形密鋪”，直觀理解密鋪的含義，溝通平面圖形之間的聯系。至于“有些平面圖形可以密鋪”的本質特性避而不談或囫圇吞棗，而且學生的前進步調緊跟老師，數學思考訓練點模糊。如何把學生的做、思結合起來，讓學生在活動中真動手、真動腦、真理解“密鋪”概念的數學本質，凸顯二維空間觀念的培養呢？

一、實踐活動要充分凸顯學生數學地思考

新課程標準對義務教育階段數學學習的定位非常明確：培養學生用數學的眼光去認識自己所生活的環境與社會，學會數學地思考，即運用數學的知識、方法去分析事物、思考問題。因此，數學教學要以促進學生發展為目標，引導學生在現實背景中看數學，從而去分析思考和解決問題。為了理解“密鋪”的數學特性，我們設計了從“特殊到一般”層層遞進的探究活動，提升了學生在活動中的數學思考水平。

活動1：觀察現象，數學解釋，初步感受。教學直接從學生常見的“磚鋪地或墻”情境入手，直觀形象地認識“物鋪”的特點。然后從“物鋪”抽象出“形鋪”，自然地幫助學生從數學角度積累密鋪的表象，初步認識密鋪的含義，體會密鋪的特點。通過對圓形鋪的辨析，強化密鋪的基本特點——無空隙，不重疊，認識更深入。學生已有經驗得到激活，真切感受到數學與生活的聯系。

活動2：先思后做，數學推理，體會本質。研究圖形的密鋪，教學目標不能僅僅停留在通過操作“讓學生知道哪些平面圖形可以密鋪，哪些不能”，更要讓學生理性建立圖形密鋪的特性。因此，為了揭示圖形密鋪的本質，教學分兩個層次展開：一是特殊圖形密鋪“注重密鋪方法”，要關注“拼接邊”。二是一般圖形既要關注“拼接邊”，更要關注“拼接點的角”。充分相信學生的判斷力，先讓學生動腦筋思考，然后動手驗證，以“平行四邊形”為例拓展到“三角形、梯形”，把“直觀做數學”演變為“推理做數學”，學生的思維方式發生了質的飛躍，學生在這樣有形到無形的活動中進一步體會了密鋪的含義。正五邊形與正六邊形的對比驗證，正六邊形密鋪的可行性與正方形、正三角形的追問，較好地突破了教學的難點。一般四邊形的判斷，更深層次地追尋了圖形密鋪的基本特性。課堂內師生之間、同伴之間的相互交流溝通，激活已知、激活思維，促進思考，分享智慧。

二、實踐活動要幫助學生積淀數學活動經驗

數學活動經驗是學生在經歷數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與態度等內容組成的有機組合性經驗。新課程明確指出：綜合與實踐是積累數學活動經驗的重要載體。在對具體的“什么是密鋪、怎樣密鋪、為什么是密鋪”等問題的探究過程中，相機展開數學活動，無形地幫助學生獲得了數學活動經驗。

認識圖形密鋪的含義——通過觀察實物圖、幾何圖，對比辨析圖，交流描述反思等一系列活動，符合學生的學習心理與認知規律，密鋪特點感受深刻。

哪些圖形能單獨密鋪——猜想、實驗驗證的科學探究方法變成一種自然的需要并貫穿始終。正三角形、等腰梯形能密鋪的數學推理自然到位。正五邊形不能密鋪和正六邊形的密鋪對比，到任意四邊形能密鋪，無痕滲透“特殊到一般”的數學研究方法。學生借助豐富的數學活動實踐、體悟、交流，真正理解了密鋪概念的本質。

三、實踐活動要增強學生應用創新意識

在綜合與實踐的過程中，強調“以學生自主參與為主”。也就是說，以自主參與的方式學習能激發學生的主動性，解放學生的身心，開發學生的創造潛能。

“平行四邊形、正三角形、等腰梯形的密鋪”，以平行四邊形為突破口，動手操作與思考齊驅，有機應用轉化技巧，溝通圖形之間的聯系解決問題。過程中不同學生表現出不同的思維水平，有人做，有人靜思，同時在交流反思中進一步提升了學生的數學思維水平，更是提高了學生應用知識解決問題的能力。

如何讓“正五邊形一種圖形不能密鋪做到能密鋪”？學生自覺想到解決問題的辦法“用其他形狀的圖形鋪滿空隙”，從一種圖形密鋪拓展到兩種、多種圖形的組合密鋪，這既是學生在應用密鋪，更是對密鋪認識的更進一步。“在方格紙上畫出用兩種不同圖形密鋪的圖案”設計活動，給每個學生留下了足夠的想象空間，展現了每個學生對圖形的感悟力、想象力，加深了每個學生對圖形密鋪的進一步認識，自由流淌出成功的喜悅和數學學習的信心。