打造呈現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的綜合實(shí)踐課

強(qiáng)震球

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)課程設(shè)置的一個全新內(nèi)容，也是新課程的特色之一。這一領(lǐng)域的設(shè)置，有機(jī)溝通了生活中的數(shù)學(xué)與課堂數(shù)學(xué)的聯(lián)系，可以更好地幫助孩子們樹立正確的數(shù)學(xué)觀。精選的教學(xué)內(nèi)容使得數(shù)學(xué)各領(lǐng)域之間和某一領(lǐng)域內(nèi)的知識交織在一起，使發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力成為必須；教學(xué)過程的組織對于改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，在探索與解決問題的過程中加深對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解和整體性認(rèn)識，以及發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力等都有重大意義。

“奇妙的圖形密鋪”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的一節(jié)綜合實(shí)踐活動課，教材按照“現(xiàn)象解讀，感性認(rèn)識—數(shù)學(xué)活動，理性探究—拓展介紹，深化認(rèn)識—自主創(chuàng)作，反思提升”的線索，切實(shí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，深刻理解“圖形獨(dú)立密鋪”的重要特性。

【案例回放】

一、感性認(rèn)識“密鋪”

1.生活情境引入“密鋪”：逐個出示用正六邊形、正方形、長方形磚鋪成的地面或墻面圖。（多媒體展示）

師：仔細(xì)觀察，用這些磚鋪在地面或墻面上有什么共同點(diǎn)？（同一種形狀連續(xù)鋪，沒有空隙，鋪在同一平面）

2.抽象圖形初步認(rèn)識“密鋪”：正六邊形、正方形、長方形磚將其抽象出平面圖形，這些平面圖形的鋪法又有什么特點(diǎn)？像這樣的鋪法叫做“密鋪”。

3.對比辨析深刻認(rèn)識“密鋪”：用圓形鋪，下面的鋪法是密鋪嗎？（多媒體逐個出示兩個圖片）密鋪的特點(diǎn)是什么？

4.生活舉例說說“密鋪”：在日常生活中，你們看到過哪些密鋪現(xiàn)象？

二、理性認(rèn)識“密鋪”（一種圖形的獨(dú)立密鋪）

1.呈現(xiàn)問題：說說看，我們還認(rèn)識過哪些平面圖形？（呈現(xiàn)平行四邊形、等腰梯形、正三角形、橢圓形）長方形、正方形顯然是能密鋪的，其他幾種圖形也能密鋪嗎？

2.猜想判斷：猜一猜，在可以密鋪的圖形下面打“√”。

3.動手驗(yàn)證：究竟可不可以，數(shù)學(xué)要用事實(shí)說話，動手證明你們的猜想。（動手鋪一鋪）

4.舉例認(rèn)識“密鋪特性”：誰來證明平行四邊形能密鋪？（展示平行四邊形的多樣鋪法）平行四邊形密鋪過程中要注意什么？（同邊拼接）

5.溝通提升認(rèn)識“密鋪特性”：正三角形、等腰梯形能密鋪嗎？密鋪時要注意什么？老師剛才巡視時發(fā)現(xiàn)有同學(xué)用正三角形、等腰梯形鋪的時候速度非常快，是不是有巧妙的鋪法？（兩個一樣的三角形能拼成一個平行四邊形，平行四邊形是能密鋪的，所以三角形也能密鋪。梯形是同樣的道理）閉眼想象一下，媒體動態(tài)演示。所有的三角形、梯形也是能獨(dú)立密鋪的。

小結(jié)：看來學(xué)過的同一種直線圖形是能密鋪的。

6.深入數(shù)學(xué)，認(rèn)識“密鋪特性”。

（1）提問：老師這兒還有兩種直線圖形（呈現(xiàn)正五邊形和正六邊形），這兩種圖形分別能密鋪嗎？（生猜，動手驗(yàn)證）

（2）追問：為什么正六邊形可以密鋪，正五邊形不可以密鋪呢？圖形密鋪除了“看邊”，還要關(guān)注圖形的什么？（關(guān)注拼接點(diǎn)圖形的角：能拼成一個周角360°）媒體動態(tài)演示。

（3）鞏固說理：你們能用這個道理來解釋正方形、正三角形為什么能密鋪嗎？（看圖說理）

（4）判斷說理：正五邊形不能密鋪的道理明白了嗎？那老師這里的一個任意四邊形它能密鋪嗎？直接判斷，先說理由，再動手驗(yàn)證。（媒體演示）

7.思辨總結(jié)：判斷一種圖形的獨(dú)立密鋪既要關(guān)注圖形的邊——相同邊拼接，更要關(guān)注拼接點(diǎn)圖形的角。

三、拓展認(rèn)識“組合密鋪”

1.談話“想組合”：用正五邊形一種圖形不能密鋪，怎么能做到密鋪呢？（多媒體演示：加圖形，保證無空隙，不重疊）

2.欣賞“贊組合”：圖片展示組合密鋪，說說感受。

3.動手“試組合”：從七巧板中選出兩種不同的圖形密鋪一個平面。

4.設(shè)計交流平面圖形密鋪：用兩種不同的圖形進(jìn)行密鋪，在方格紙上畫出你設(shè)計的圖案。

【課后反思】

“奇妙的圖形密鋪”是一次根據(jù)有關(guān)平面圖形特點(diǎn)進(jìn)行觀察、操作、思考和簡單設(shè)計的活動。通過活動讓學(xué)生進(jìn)一步了解有關(guān)平面圖形的特征，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，體會數(shù)學(xué)知識與方法在生活中的廣泛應(yīng)用。教學(xué)時，教師往往花費(fèi)大量的時間，引領(lǐng)學(xué)生動手操作感知“有些平面圖形可以密鋪，有些不能；有的可以用兩種平面圖形密鋪”，直觀理解密鋪的含義，溝通平面圖形之間的聯(lián)系。至于“有些平面圖形可以密鋪”的本質(zhì)特性避而不談或囫圇吞棗，而且學(xué)生的前進(jìn)步調(diào)緊跟老師，數(shù)學(xué)思考訓(xùn)練點(diǎn)模糊。如何把學(xué)生的做、思結(jié)合起來，讓學(xué)生在活動中真動手、真動腦、真理解“密鋪”概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯二維空間觀念的培養(yǎng)呢？

一、實(shí)踐活動要充分凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)地思考

新課程標(biāo)準(zhǔn)對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的定位非常明確：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識自己所生活的環(huán)境與社會，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，即運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、方法去分析事物、思考問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)背景中看數(shù)學(xué)，從而去分析思考和解決問題。為了理解“密鋪”的數(shù)學(xué)特性，我們設(shè)計了從“特殊到一般”層層遞進(jìn)的探究活動，提升了學(xué)生在活動中的數(shù)學(xué)思考水平。

活動1：觀察現(xiàn)象，數(shù)學(xué)解釋，初步感受。教學(xué)直接從學(xué)生常見的“磚鋪地或墻”情境入手，直觀形象地認(rèn)識“物鋪”的特點(diǎn)。然后從“物鋪”抽象出“形鋪”，自然地幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)角度積累密鋪的表象，初步認(rèn)識密鋪的含義，體會密鋪的特點(diǎn)。通過對圓形鋪的辨析，強(qiáng)化密鋪的基本特點(diǎn)——無空隙，不重疊，認(rèn)識更深入。學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)得到激活，真切感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

活動2：先思后做，數(shù)學(xué)推理，體會本質(zhì)。研究圖形的密鋪，教學(xué)目標(biāo)不能僅僅停留在通過操作“讓學(xué)生知道哪些平面圖形可以密鋪，哪些不能”，更要讓學(xué)生理性建立圖形密鋪的特性。因此，為了揭示圖形密鋪的本質(zhì)，教學(xué)分兩個層次展開：一是特殊圖形密鋪“注重密鋪方法”，要關(guān)注“拼接邊”。二是一般圖形既要關(guān)注“拼接邊”，更要關(guān)注“拼接點(diǎn)的角”。充分相信學(xué)生的判斷力，先讓學(xué)生動腦筋思考，然后動手驗(yàn)證，以“平行四邊形”為例拓展到“三角形、梯形”，把“直觀做數(shù)學(xué)”演變?yōu)椤巴评碜鰯?shù)學(xué)”，學(xué)生的思維方式發(fā)生了質(zhì)的飛躍，學(xué)生在這樣有形到無形的活動中進(jìn)一步體會了密鋪的含義。正五邊形與正六邊形的對比驗(yàn)證，正六邊形密鋪的可行性與正方形、正三角形的追問，較好地突破了教學(xué)的難點(diǎn)。一般四邊形的判斷，更深層次地追尋了圖形密鋪的基本特性。課堂內(nèi)師生之間、同伴之間的相互交流溝通，激活已知、激活思維，促進(jìn)思考，分享智慧。

二、實(shí)踐活動要幫助學(xué)生積淀數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識、技能、情感與態(tài)度等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)。新課程明確指出：綜合與實(shí)踐是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要載體。在對具體的“什么是密鋪、怎樣密鋪、為什么是密鋪”等問題的探究過程中，相機(jī)展開數(shù)學(xué)活動，無形地幫助學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

認(rèn)識圖形密鋪的含義——通過觀察實(shí)物圖、幾何圖，對比辨析圖，交流描述反思等一系列活動，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理與認(rèn)知規(guī)律，密鋪特點(diǎn)感受深刻。

哪些圖形能單獨(dú)密鋪——猜想、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的科學(xué)探究方法變成一種自然的需要并貫穿始終。正三角形、等腰梯形能密鋪的數(shù)學(xué)推理自然到位。正五邊形不能密鋪和正六邊形的密鋪對比，到任意四邊形能密鋪，無痕滲透“特殊到一般”的數(shù)學(xué)研究方法。學(xué)生借助豐富的數(shù)學(xué)活動實(shí)踐、體悟、交流，真正理解了密鋪概念的本質(zhì)。

三、實(shí)踐活動要增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新意識

在綜合與實(shí)踐的過程中，強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生自主參與為主”。也就是說，以自主參與的方式學(xué)習(xí)能激發(fā)學(xué)生的主動性，解放學(xué)生的身心，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能。

“平行四邊形、正三角形、等腰梯形的密鋪”，以平行四邊形為突破口，動手操作與思考齊驅(qū)，有機(jī)應(yīng)用轉(zhuǎn)化技巧，溝通圖形之間的聯(lián)系解決問題。過程中不同學(xué)生表現(xiàn)出不同的思維水平，有人做，有人靜思，同時在交流反思中進(jìn)一步提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，更是提高了學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。

如何讓“正五邊形一種圖形不能密鋪?zhàn)龅侥苊茕仭保繉W(xué)生自覺想到解決問題的辦法“用其他形狀的圖形鋪滿空隙”，從一種圖形密鋪拓展到兩種、多種圖形的組合密鋪，這既是學(xué)生在應(yīng)用密鋪，更是對密鋪認(rèn)識的更進(jìn)一步。“在方格紙上畫出用兩種不同圖形密鋪的圖案”設(shè)計活動，給每個學(xué)生留下了足夠的想象空間，展現(xiàn)了每個學(xué)生對圖形的感悟力、想象力，加深了每個學(xué)生對圖形密鋪的進(jìn)一步認(rèn)識，自由流淌出成功的喜悅和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。