高中數學空間幾何體角與距離學習支撐工具對比分析

張蓮蓮等

摘要：高中數學空間幾何體角與距離的學習一直是高中數學教學的重、難點，由于開發的難度大，國內外現有的空間幾何體學習支撐工具的功能并不是十分完善，尤其是在角與距離問題的解決上缺乏針對性。本文針對國內外現有的高中數學空間幾何體學習支撐工具進行比較，分析其針對角與距離問題解決上的優缺點，為更好地設計與開發空間幾何體角與距離學習支撐工具提供一定的參考價值。

關鍵詞：高中數學；空間幾何體；角與距離；學習支撐工具

數學學科在基礎教育知識體系占有很重要的地位，為了滿足教學的需要，國內外開發的此類軟件的種類很多，但真正適合教師和學生用來學習空間幾何的軟件少之又少，難以滿足教學需要。事實上，幾何是中學教學中的重點，空間幾何則是其中的難點[1]，在空間幾何的學習過程中，空間幾何體角與距離的學習是其中的重、難點，主要原因是空間幾何體習題的解決需要學生建立空間想象能力，在空間幾何體角與距離問題的學習中主要內容包括：線線角、線面角、二面角、點線距、點面距、異面直線的距離。其中，線面角、二面角、異面直線的距離都需要學生在立體空間中來解決，脫離了平面，在找角或找距離的時候非常的困難，不好理解，學生在學習這部分知識的時候只能借助自己的空間想象能力再加上教師的解釋來強行理解，因此學習的效果不是很好，而這部分知識又是高考中的重點知識，因此，需要相關的學習支撐工具來解決此類問題，提高教學質量，從而提高教學效率。

● 高中數學空間幾何體教學軟件的分類及簡介

國內外針對數學學科的教學需求開發的軟件頗多，比較突出的有幾何畫板、GeoGebra、Geometry Expressions、Z+Z智能教育平臺系列中面向平面幾何的超級畫板、Cabri3D、玲瓏3D，下面就針對這幾款軟件進行簡單介紹。

1.幾何畫板

幾何畫板是適用于數學、平面幾何、物理的矢量分析、作圖，函數作圖的動態幾何工具。幾何畫板軟件是由美國Key Curriculum Press公司制作并出版的優秀教育軟件，1996年該公司授權人民教育出版社在中國發行該軟件的中文版。幾何畫板能夠構建數學模型、揭示數學規律、直觀反映數學變化、動態保持形數關系，它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構造出千變萬化的圖形。為教師和學生提供了直觀、方便、快捷、準確的圖形表現工具，使學生在圖形的運動和變化的過程中，觀察、歸納出圖形的數量關系和圖形性質。幾何畫板適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）的教學。

2.GeoGebra

GeoGebra是一款結合“幾何”、“代數”與“微積分”的動態數學軟件，它是由美國羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter所設計的。一方面來說，GeoGebra是一個動態的幾何軟件，您可以在上面畫點、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線，甚至是函數，事后還可以改變它們的屬性；另一方面來說，可以直接輸入方程和點坐標。所以，GeoGebra也有處理變數的能力（這些變數可以是一個數字、角度、向量或點坐標），它也可以對函數作微分與積分，找出方程的根或計算函數的極大極小值。所以GeoGebra同時具有處理代數與幾何的功能。但正是由于GeoGebra具有了多種功能，所以，在每一部分的功能上并不是十分的完善，并且在打開軟件時默認的界面含有坐標系，這樣會影響圖形的構建，默認狀態下應該是空白狀態，方便教師和學生使用。

3.Geometry Expressions

Geometry Expressions是一款世界領先的交互式符號幾何系統。這就意味著：幾何圖形可以按照符號幾何或者數字領域進行定義。繪圖因為有了參數和符號動畫而顯得生動起來；有了新的符號約束，所有的一般建筑結構都可以很好地展現。Geometry Expressions的功能界面略顯復雜，包含的功能十分多，特色的地方就是能夠將圖形與參數相對應，但是由于參數的復雜性，它雖然能夠很容易地計算出相應的面積和周長等所需要的答案，但是不利于學生的理解。

4.Z+Z 智能教育平臺——超級畫板

“Z+Z 智能教育平臺”是由我國著名數學家、計算機科學家、著名科普作家、中國科學院院士張景中教授主持策劃和開發的。超級畫板兼顧幾何與代數的教學，并具有自動推理、編程與宏工具的制作等高級功能，可選擇空間比較大，但是需要教師掌握的功能也很多。“Z+Z智能教育平臺”是為我國的基礎教育量身定做的[2]，Z+Z智能教育平臺系列中的立體幾何其自動推理功能非常強大，不僅能讓機器自動推理，還能讓用戶進行交互式推理，并且還能對用戶的解答給出評價和修改。但由于其幾何圖形的顯示和交互方面存在一定的缺陷，因此并不適用于當前的立體幾何教學。

5.Cabri3D

法國的Cabri3D于2004年推出，是世界第一款專門針對立體幾何學習的輔助教學軟件，基于Cabri3D的計算機輔助教學法有助于培養學生的立體感，提高學生的空間想象能力，大大改善立體幾何的教學質量，對提高學生數學成績具有正面影響力，但其只是一款動態幾何繪制軟件，并沒有自動推理及其相關的功能，因此學生不能方便地去探究圖中幾何元素之間的關系，也無法讓計算機去輔助其學習定理的證明等。Cabri3D軟件中所以提供的空間幾何圖形需要手動操作，比較麻煩，繪圖時很費時間，所提供的圖形不夠全面，比如說球體。

6.玲瓏3D

玲瓏3D是一款好用、實用、靈活、方便的動態數學教學軟件。能動態展示幾何、函數等圖形，具有創新性、實用性，適用于高中、初中、小學數學教師及學生，是一款不錯的教學輔助軟件。可以真實地體現三維空間，進行教學動畫演示，但是玲瓏3D不能提供現成的棱錐、棱臺、球體、圓柱的立體圖形，因此為空間幾何體角與距離的學習帶來不便，因為這些圖形是比較難畫的，教師和學生創作這些圖形將會浪費太多時間。

● 六種學習支撐工具在問題解決上的對比分析

通過對六種學習支撐工具的研究與分析，我們得出了其在解決空間幾何體角與距離問題上的對比分析表（如下表），空間幾何體角與距離問題主要可以歸類為線線角、線面角、二面角、點線距、點面距、異面直線的距離這六大方面，下表也主要從這六個方面進行對比分析。

從分析表中我們可以清楚地看到，這六種空間幾何體學習支撐工具在解決角與距離六大問題上的局限性，目前并沒有一款軟件可以同時解決空間幾何體角與距離中的六大知識點，因此需要開發新的學習支撐工具來滿足現階段高中數學空間幾何體的學習，培養學生的空間想象能力，進一步將教學重難點易化，保證教學質量，提高教學效率。

● 研究結論

目前，缺乏高質量的高中數學空間幾何體角與距離學習支撐工具，己經制約了信息技術和空間幾何體角與距離學習的有效整合。由于各類學習支撐工具中角與距離學習的功能不是十分完善，因此在空間幾何角與距離問題的解決上更是缺乏針對性。在數字化學習環境下高中數學空間幾何體角與距離學習存在的主要問題包括以下幾點：

①現有軟件大都只具備平面幾何功能而缺少立體幾何相關的功能。

②現有教學缺乏針對性，缺少典型案例庫。

③現有學習缺少具有針對性的學習支撐工具。

針對這些問題需要開發和設計相關的高中數學空間幾何體學習支撐工具來解決在學習此類問題時遇到的困難。

● 結束語

筆者希望能夠研究設計一款學習支撐工具來解決空間幾何體角與距離問題，空間幾何體角與距離可以劃分為線線角、線面角、二面角、點線距、點面距，異面直線距離這六大類，能夠利用三維解決空間幾何前所未有的難題，所設計的學習支撐工具包含所有典型空間幾何角與距離問題，通過對各種題型的分析理解，能夠讓學生掌握兩種方法求解空間幾何角與距離問題，總結此類問題的各種題型和解題思路，從而建立學生的空間想象能力，提高運算能力。我們期待著這一問題的提出能為新課程改革中的高中數學空間幾何體成角與距離的教學帶來應用創新。