“不空”也“不滿”

蔡國民

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；一元一次不等式組；分配問題；

解題思路

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）15—0082—02

“一元一次不等式組”學完后，學生對不等關(guān)系較明顯的實際問題能較容易地列不等式組求解，而對不等關(guān)系隱含的“不空”也“不滿”的“分配”問題卻很難入手找到突破口.下面，筆者就以人教版七年級《數(shù)學》（下冊）142頁的一道習題為例來說明解這類題目的解題思路.

題目：把一些書分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一人分不到3本.這些書有多少本？學生有多少人？

分析：從表面上看，這道題并沒有明顯的大于或小于的不等關(guān)系，因此許多學生都無從下手.但如果教師引導得法，抓住關(guān)鍵語句進行點撥，已知條件與未知條件之間的不等關(guān)系就很容易找出.

思路點撥：此題的關(guān)鍵語句是“每個學生分5本，那么最后一人分不到3本”.仔細分析可知,最后一位學生分到的書本數(shù)大于或等于0而小于3，可表示為總書本數(shù)與前面學生分到的書本數(shù)之差.總書本數(shù)與前面學生分到的書本數(shù)這兩個量都可以用學生的數(shù)量來表示，因此可設學生有x人，則總書本數(shù)有(3x+8)本，如果前面的每個學生分5本，那么已分5（x-1）本，最后一位學生分得的書本數(shù)就可表示為（3x+8)-5(x-1)本.根據(jù)“分不到3本”就可列不等式組：0≤（3x+8)-5(x-1)＜3.

解：設學生有x人，則總書本數(shù)為(3x+8)本，根據(jù)題意得不等式組（3x+8)-5(x-1）≥0 ①，（3x+8)-5(x-1）＜3② . 由①得x≤，由②得x>5.

所以，不等式組的解集為5＜x≤.因為學生人數(shù)為正整數(shù)，所以x可取6，即有6名學生，26本書.

變式一：一群女生住若干宿舍，每間住4人，剩19人無房住；每間住6人，則有一間宿舍不滿，也不空，問有多少間宿舍？多少名學生？

思路點撥：這道題比上一道題更深了一層：出現(xiàn)關(guān)鍵語句“有一間宿舍不滿，也不空”.這就是說最后一間宿舍的人數(shù)大于0且小于6.如果設有x間宿舍，每間宿舍住4人，就有4x人已入住，但“剩余19人無房住”，則總?cè)藬?shù)為(4x+19）人；每間住6人，已住滿宿舍的人數(shù)為6（x-1)人，則最后一間宿舍住(4x+19）-6（x-1)人，因此有不等式組：(4x+19）-6（x-1)>0，(4x+19）-6（x-1)＜6 .

解得9＜x＜12，x取正整數(shù)為10，11，12.則有10間宿舍，59名學生；或有11間宿舍，63名學生；或有12間宿舍，67名學生.

變式二：某旅館有兩種客房，甲種客房每間可安排4位客人入住，乙種客房每間可安排3位客人入住，如果將某班男生都安排到甲種客房，將有一間客房住不滿；若都安排到乙種客房，則還有2人沒房住，已知該旅館兩種客房的數(shù)量相等，求該班男生人數(shù).

思路點撥：這道題從表面上看比前面兩道題多了一個障礙，出現(xiàn)了甲、乙兩種客房，但若稍加分析“已知該旅館兩種客房的數(shù)量相等”這一條件，便“柳暗花明”：無論住甲種客房，還是乙種客房，兩種客房的數(shù)量是一樣的.因此，如果設甲種客房有x間，那么乙種客房也有x間，這樣問題就可轉(zhuǎn)化為：每間客房住4位客人，將有一間客房住不滿；每間客房住3位客人，將有2人沒房住的問題了.

解：設甲種客房有x間，則該班男生人數(shù)為（3x+2）人，根據(jù)題意得不等式組：

（3x+2）-4（x-1)>0 ① ，（3x+2）-4（x-1)＜4 ② .

由①得x＜6，由②得x>2.

所以，不等式組的解集為2＜x＜6.因為房間數(shù)為正整數(shù)，所以x可取3，4，5.

當x=3時，3x+2=11；當x=4時，3x+2=14；當x=5時，3x+2=17.

變式三：將若干只雞放入若干個籠中，若每個籠里放4只，則有一只雞無籠可放，若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放。那么至少有多少只雞，多少個籠？（“縉云杯”初中數(shù)學邀請賽試題）

思路點撥：這道題的關(guān)鍵語句是：“若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放”.仔細分析此語句可知，除一籠“無雞可放”外，其余的籠里都放了雞，但其中有一個籠可能未放滿，即小于或等于5只.設有x個籠，則有雞（4x+1）只，除一籠“無雞可放”外，其余（x-1）個籠里都放了雞，則根據(jù)其中（x-1）個籠里有一個籠“可能”未放滿這個不等關(guān)系可列不等式組： 0＜（4x+1）-5（x-2）≤5.

解此不等式組得：6≤x＜11.

但此題難在題目中有“至少”二字，所以可得至少有6個籠，23只雞.如果去掉“至少”二字，則雞籠有6個，7個，8個，9個，10個五種情況，相應的雞也有23只，29只，33只，37只，41只五種情況.

解：設有x個籠，則有雞（4x+1）只，則

（4x+1）-5（x-2）≤5①，（4x+1）-5（x-2）>0 ②.

解此不等式組得：6≤x＜11.

所以，至少有6個籠，23只雞.

綜上所述，這類題目有一個共同的特點：已知條件中有兩個量，其中一個量出現(xiàn)“分配”上的“不空”也“不滿”，如上面例子中的“最后一人分不到3本”，“有一間宿舍不滿，也不空”，“有一籠無雞可放”等，求這兩個量.我們不妨把這類問題統(tǒng)稱為“不空”也“不滿”問題.

通過以上幾個例子的分析不難看出，教師在引導學生分析這類問題時，關(guān)鍵是引導學生找出隱含的不等關(guān)系——“不空”也“不滿”的語句，把其中的一個量設為未知數(shù)，則另一個量可用含這個未知數(shù)的關(guān)系式來表示，從而根據(jù)“不空”也“不滿”的不等關(guān)系語句，列出表示“不空”或“不滿”的“單位量”與“空”的“單位量”、“滿”的“單位量”之間的不等式組，這是解決這類問題的關(guān)鍵，也是行之有效的方法.運用這種方法解題，不但能幫助學生認識和體會數(shù)學的轉(zhuǎn)化與分類討論思想，而且能提高學生的解題能力.

編輯：劉立英