胡蘿卜白菜自動機

陳凱

一只兔子在自家菜園子里種白菜和胡蘿卜，兔子把田地劃成了17列，在第一行里種的基本上全是大白菜，然而在第一行的最中間種了胡蘿卜，它覺得這樣最漂亮了。接下來每一行的第一列和最后一列，它都種了大白菜，不過其他位置上，它種的究竟是什么呢？

要知道，這是一只有強迫癥的兔子，它所做的事情都遵循一種叫做對稱的規(guī)則，從第二行第二列開始，從兔子眼里看上前一行，若左前方、正前方、右前方所種的蔬菜恰巧排得對稱，那么，它就會在所站的地方種下大白菜，要是看上去不對稱，就種下胡蘿卜，一直到這一行的倒數(shù)第二列，其后的每一行也都是這樣。

● 筆下的自動機

繼續(xù)按這個規(guī)則種大白菜和胡蘿卜的話，會得到怎樣的景象呢？用一張紙，一支筆畫一下吧。

按照兔子的“對稱規(guī)則”，如果行列足夠多，那么相似結構的三角形會不停地“繁衍”出來（該圖形被稱為謝爾賓斯基三角形，往期文章里曾通過其他方法生成過該圖形）。當然，也可以把規(guī)則改成其他樣子。類似的系統(tǒng)被稱為元胞自動機，借用學術一些的定義就是：散布在規(guī)則網(wǎng)格中的每一單元取有限的離散狀態(tài)，所有單元依據(jù)確定且相同的規(guī)則做同步更新的動力學模型。由于兔子只觀察前一排的胡蘿卜和大白菜，而無需左顧右盼，因此這是一個簡單的一維元胞自動機，該自動機的規(guī)則可以詳述如下：111生成0（即左前、正前、右前都是胡蘿卜，則種白菜）；110生成1；101生成0；100生成1；011生成1；010生成0；001生成1；000生成0。如果將以上規(guī)則中生成的二進制數(shù)字連起來排成一排，則得到01011010，換算成十進制數(shù)字就是90，因此，所謂“對稱規(guī)則”實際上被簡稱為一維元胞自動機第90號規(guī)則。

● 電子表格中的自動機

元胞自動機軟件模型運行起來場景頗為壯觀，如果有耐心，可以自行編寫完整的程序來實現(xiàn)該模型，也可以在網(wǎng)絡上找到現(xiàn)成的工具使用。不過，為了方便課堂演示和實驗，本文用身邊常見的電子表格來快速DIY出一個元胞自動機運行環(huán)境，以微軟的Excel為例，步驟如下。

1．將Excel中的單元格設置成小正方形的模樣，第一行除正中間的單元格設為1外，其他單元格設0，每一行的邊緣單元格均預設為0，如圖1所示。

2．在第二行第二列即B2單元格中輸入函數(shù)“=IF(A1=C1,0,1)”，然后在第二行中，利用拖曳功能將該函數(shù)自動擴展運用到該行的每一列（如圖2）。

3．利用拖曳功能將該函數(shù)自動擴展運用到該表格的每一行。

4．全選并復制所有數(shù)據(jù)，在原來的位置，將剪貼板里的數(shù)據(jù)“選擇性粘貼”為數(shù)值。

5．利用“編輯/替換”菜單，將所有0替換為空字符串。

很容易通過修改函數(shù)，來改變自動機的規(guī)則，若有興趣，可試試以下一維元胞自動機規(guī)則：111生成0；110生成0；101生成0；100生成1；011生成1；010生成1；001生成1；000生成0，結果會生成怎樣的圖案呢？（答案在本期找）