幾種特別的不等式證明方法

陳新文

不等式證明是高中比較重要的一個知識點，最常用的是比較法、綜合法、分析法.以下介紹幾種特別的證明方法.

1本值不等式法

由公式a2+b2≥2ab和a+b2≥ab(a，b∈R+)可得以下結論：

（1）ab+ba≥2（a，b同號）.

（2）21a+1b≤ab≤a2+b22(a，b∈R+).

例1求證：4a-3+a≥7（其中a>3).

分析題目經變形后4a-3+(a-3)+3可以直接運用公式.

證明由算術平均數和幾何平均數定理，

4迸斜鶚椒

二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，Δ=b2-4ac≤0，則f(x)≥0.

若a<0，Δ=b2-4ac≤0，則f(x)≤0.

二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根，則Δ=b2-4ac≥0.

以上兩條性質，可以用來證明不等式.

例4已知a，b是實數，b>0，求證：a2+b2>3a-2ab-4.

證明將所給的求證式變形為a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.

左邊是關于a的二次三項式，a為實數.

∵b>0，∴Δ=(2b-3)2-4(b2+3)=-12b-3<0，

∴a2+(2b-3)a+(b2+4)>0.

即a2+b2>3a-2ab-4.

點評若題目含有兩個或兩個以上字母的不等式，在應用公式法或比較法無效時，若能整理成一邊為零，另一邊是某個字母的二項式，則可用判別式法.

5憊乖旌數法

函數思想是中學數學重要的思想方法之一，有些數學問題只要將其中有些變化的量建立聯系，構造出函數，再利用函數的性質解決問題.

例5求證：sin2x+9sin2x≥10.

分析本題可構造函數f(t)=t+9t試解本題.

證明易得0

設t=sin2x，則問題轉化為證明f(t)=t+9t≥10在(0，1］上恒成立.

下面證明這個結論的正確性.