二次函數(shù)習(xí)題的改造

吳允浦

函數(shù)的概念比較抽象，思想方法難于理解，習(xí)題錯綜復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)起來感到比較困難，在教學(xué)實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，如果能夠?qū)Σ糠謧鹘y(tǒng)的函數(shù)例題、習(xí)題進行改造，則往往可以極大地調(diào)動學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.現(xiàn)對二次函數(shù)的部分習(xí)題做適當(dāng)?shù)母脑?，并加以簡單介紹.

一、封閉性問題的開放性改造

以問題狀態(tài)（條件、過程和結(jié)論）的明確程度為依據(jù)，可將數(shù)學(xué)問題分為封閉性和開放性兩個問題.平時所見的大部分問題屬于封閉性問題，而開放性問題對于發(fā)展學(xué)生的個性、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，特別是訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維有著重要意義.對于封閉性問題，如果我們在認清題目的實質(zhì)下對于問題的條件、結(jié)論或者過程予以適當(dāng)修改，則可以使其具有一定的開放性.

題1求函數(shù)f(x)=(x-1)2對稱軸、最值、單調(diào)性.

單純求二次函數(shù)的最值、單調(diào)性，難于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，如果將此題的結(jié)論作為條件，可以改編成開放性問題，不僅調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且使每名學(xué)生的思維能力都得到較大的發(fā)展.

題2老師給出一個函數(shù)y=f（x），四名學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì).

甲：對x∈R，都有f(1-x)=f(1+x).

乙：在（-∞，0］上是減函數(shù).

丙：在［2，+∞)上是增函數(shù).

?。篺（0）不是函數(shù)的最值.

如果其中恰好有三名學(xué)生說得正確，請寫出這樣一個函數(shù).

適當(dāng)放寬限制條件，使得問題存在多種答案，具有一定的開放性，從而調(diào)動了學(xué)生的思維積極性.

題3已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c（a，b，c均為實數(shù)）.

（1）當(dāng)b=1時，對任意實數(shù)x，使f(x)≠0，求a，c滿足的條件；

（2）當(dāng)a+c=0時，求證：存在一個實數(shù)x，使f(x)=0.

此題是比較典型的二次函數(shù)零點問題，如果能放寬數(shù)學(xué)背景，增加適當(dāng)?shù)膶嶋H情景，可將此題改編為一道開放性較強的問題.不僅增加了數(shù)學(xué)的趣味性，而且培養(yǎng)了學(xué)生的探索能力.

題4已知函數(shù)f（x）=asin2x+bsinx+c，其中a，b，c為非零實數(shù).甲、乙兩人做一游戲，他們輪流確定系數(shù)a，b，c（如：甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果對任意實數(shù)x，使f(x)≠0，那么甲獲勝；如果存在一個實數(shù)x，使f(x)=0，那么乙獲勝.

(1)甲先選數(shù)，他是否有必勝策略？為什么？

(2)如果a，b，c是任意實數(shù)，結(jié)果如何？為什么？

二、常規(guī)型問題的探索性改造

以問題解決者的知識經(jīng)驗為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)分為常規(guī)性問題與探索性問題.平時所見到的例、習(xí)題大部分是常規(guī)性問題，而探索性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與主動性有著常規(guī)性問題不可比擬的作用，改變常規(guī)問題的條件、結(jié)論或者設(shè)問方式就可以引導(dǎo)常規(guī)性問題改編為探索性問題.

題5已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，當(dāng)a=-130時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考慮到a的任意性，我們可以用逆向思維，運用設(shè)問方式，將此題改變?yōu)樘剿餍詥栴}.

題6已知函數(shù)f(x)=-ax4+(2a-1)x2+1，問是否存在a(a<0)，使得f(x)在區(qū)間(-∞，-4］上是減函數(shù)，且在區(qū)間(-4，0)上是增函數(shù)？若存在，求出a；若不存在，請說明理由.

題7已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，x∈［m，n］(m

這是一道單純性二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，探究性不強，我們不妨增加已知條件，改編為下述具有一定探究性的問題.

題8已知二次函數(shù)f(x)=-12x2+x，是否存在實數(shù)m，n(m

三、純粹性問題的應(yīng)用性改造

以問題性質(zhì)的數(shù)學(xué)過程（抽象、變換、應(yīng)用）為依據(jù)，可以將數(shù)學(xué)問題分為純粹性問題和應(yīng)用性問題.平時所見的例、習(xí)題大部分是純粹性問題，而應(yīng)用性問題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、分析問題與解決問題能力都有著不可替代的作用.對于一些純粹性問題，如果能夠結(jié)合具體的生活、生產(chǎn)實踐，賦予一定的實際情景，則可以將其改變?yōu)閼?yīng)用性問題.

題9求函數(shù)y=x+9x（x>0）的最值.

此題可看做特殊二次函數(shù)y=x-3x2+6(x>0)為載體給予一定的實際背景，將此題改編為方案優(yōu)化型的應(yīng)用問題.

題10制作一個容積為18 m3，深為2 m的長方體無蓋水池.若池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，求水池最低造價？

題11已知函數(shù)y=kx1-xm(k>0)，定義域為（0，m）.

(1)求函數(shù)的最值；

(2)當(dāng)0

以y=kx1-xm為載體設(shè)計適當(dāng)?shù)膶嶋H背景的文字表述，可以將此題改編為應(yīng)用性較強的實際問題.

題12漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸，要保證魚群的生長空間.已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空間率的乘積成正比，比例系數(shù)為k（k>0）.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)求魚群年增長量的最大值；

(3)當(dāng)魚群的年增長量達到最大時，求k的取值范圍.

總之，適當(dāng)改造傳統(tǒng)例、習(xí)題確實能調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，但不恰當(dāng)?shù)母脑觳粌H沒有帶來益處，反而給學(xué)生帶來新的負擔(dān).因此，哪些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題可以改造，如何改造，改造后如何應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，這些問題需要我們不斷地探索.

【參考文獻】

顧泠沅.改造我們的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)通報，2000（7）.