對一道高考試題的討論

楊宋鵬 姚新利

(銅川市耀州中學 陜西 銅川 727100)

文獻[1]刊登了對2010年普通高等學校招生全國統一考試(上海卷)物理試題的評析，其中第24小題，給出了兩種解法，這兩種解法的確簡單，但是讀完之后，總覺得這樣的解法沒有考慮初始位置間的夾角，有些不妥.課堂上給學生講完上述兩種解法后，大部分學生同樣不能理解：為什么不考慮初始位置間的夾角？從圖1所示位置開始到第一次共線，a，b運動過的圓心角的差值并不等于π.思考再三，原來教師總是向學生強調重視過程的分析，但學生對題目中a，b物體運動過程中的關系并沒有弄清，上述兩種解法中同樣沒有過程的分析.為什么不考慮初始位置間的夾角，的確存在思維上的漏洞．于是筆者在課堂上引導學生分析，找到了兩種更好的、更常規的解法，現在與大家分享．

題目：如圖1所示，3個質點a，b，c質量分別為m1，m2，M(M?m1，M?m2)．在質點c的萬有引力作用下，a，b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑之比為ra∶rb=1∶4，則它們的周期之比Ta∶Tb=______；從圖示位置開始，在b運動一周的過程中，a，b，c共線了______次．

圖1

解析：萬有引力提供向心力，則

所以Ta∶Tb=1∶8．第一問的求解與參考答案相同．

現將第二問的兩種常規解法介紹如下.

解法一：物理過程分析法

第一問已經求得Ta∶Tb=1∶8，即b物體運動1周的時間內a物體運動8周．據此，將b物體運動的軌跡圓周分成8等份，如圖2所示．

圖2

在a物體運動第1周的時間內，b物體從圖2中的b位置到b1位置，此過程中，a的線速度大，質點a，b，c第一次共線出現在當a在b4cb5區域運動的過程中(a、b在c的兩側)；由于a最后回到出發點，因此a，b，c第二次共線出現在當a在bcb1區域運動的過程中(a，b在c的同側)．所以在a運動第1周的時間內，質點a，b，c共線出現2次．

在a運動第2周的時間內，b從圖2中的b1位置到b2位置，a的線速度大，b的線速度小，a，b，c的第一次共線出現在當a在b5cb6區域運動的過程中(a、b在c的兩側)，此后a最后回到出發點，不可能再出現a，b，c共線的情形．所以在a運動第2周的時間內，a，b，c共線出現1次．

在a運動第3周的時間內，b從圖2中的b2位置到b3位置，a的線速度大，b的線速度小，質點a，b，c的第一次共線出現在當a在b2cb3區域運動的過程中(a、b在c的同側)，相當于a超過b時；質點a，b，c第二次共線出現在當a在b6cb7區域運動的過程中(a，b在c的兩側)．所以在a運動第3周的時間內，質點a，b，c共線出現2次．

同理，b從圖2中的b3位置到b4位置，從b4到b5，從b6到b7，b從圖中的b7位置回b位置，這幾個過程中，質點a，b，c共線出現2次．而b從圖中的b5位置到b6位置的過程，與b從圖中的b1位置到b2位置的過程相似，質點a，b，c共線出現1次．

所以在b運動1周的時間內，質點a，b，c共線了14次．從分析求解過程可以看出：當b在a的起始位置所在的區域及其對稱區域運動時，質點a，b，c共線出現1次，其他區域質點a，b，c共線出現2次，與初始位置間夾角∠acb的大小無關．

這個解法符合學生的思維習慣，便于解答學生心中的疑惑，有利于學生思維能力和分析力、動手能力的培養，但是過程繁瑣，考試中較費時間．

解法二：計算法

也是利用兩次共線的時間間隔t計算，但將開始計時到第一次共線的時間單列計算．

為便于理解，先分析起始位置共線的兩類情況．在圖3所示的兩類情況中，設每隔時間t，質點a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

圖3

所以b運動1周的過程中，質點a，b，c共線的次數為

圖4

本題中，第一次共線后的其他共線，均可視為上述情況．這樣考慮起始夾角∠acb=θ.設由圖4所示a，b位置運動到第一次共線(即a，b運動到a′，b′,位置)用時為t1，則由圖4中的關系可得

ωat1+θ-ωbt1=π

此后的情形與圖3所示情形相同，即設每隔時間t，質點a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

那么在b運動1周的時間內，質點a，b，c共線的次數為

這種解法學生從過程分析、數學運算兩個方面都容易理解和接受．但是，學生往往容易產生一個錯誤的推論：若θ>π， 那么n=15．其實這個想法是錯誤的．

圖5

分析如下：設由圖5所示a，b位置運動到第一次共線(即a，b運動到a′，b′,位置)用時為t1，則由圖5中的關系可得

ωat1+θ-ωbt1=2π

此后的情形與上一種情形相同，即設每隔時間t，質點a，b，c共線1次，則

(ωa-ωb)t=π

那么在b運動1周的時間內，質點a，b，c共線的次數為

這樣，學生更容易理解和接受，而且也證明了，結果的確與初始位置夾角θ的大小無關．

參考文獻

1 宋淑光.對2010年普通高等學校招生全國統一考試(上海卷)物理試題的評析.中學物理教學參考，2010(9)：44