對飲料杯重心位置最小值的探討

鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

文獻［1］利用質心計算公式導出重心位置坐標跟水面高度的關系式，然后求導數得出重心位置的最小值，其解題過程和結果都是正確的，但在求極值時兩次對分式求導數，難度較大，而且所得結果不是最終答案，還需進一步化簡.那么除了原解以外，是否還有其他方法呢？現對上述問題進行探討.

原題：如圖1所示，一個飲料杯裝滿水，杯的底部有一小孔，在水從小孔不斷流出的過程中，杯連同杯中水的共同重心將

A.一直下降 B.一直上升

C.先升后降 D.先降后升

圖2

圖1

原解：建立空間直角坐標系如圖2所示，假設飲料杯的質量為m，高度為h，杯底的半徑為r，水的密度為ρ，當水面到杯底的高度為l時，水的質量為M＝ρπr2l由質心公式得整體重心的位置為

用求導數的方法得出的重心位置的最小值為

這個結果顯得非常復雜，其實還可化簡為

下面再給出兩種簡單解法.

解法1：質心坐標法

可知，整體重心的位置為

把M＝ρπr2h代入得

可利用判別式求極值，需把函數關系式變形為關于l的一元二次方程的形式，由（1）式得

因重心最低的位置只有一個，則對應的l值只有一個，即方程有唯一解，只有一個根（兩個相同的根），其條件是判別式為零，即

化簡得

考慮到重心高度z大于零，解方程（5）得

此時l有唯一值，對方程（3）由極值條件得

所以，當整體的重心最低時，水面與重心位置等高.

解法2：勢能疊加法

對于變質量物體，若在其重心的左側增加質量，則重心位置將向左移；若在其重心的右側增加質量，則重心位置將向右移.同理，若在其重心的左側減少質量，則重心位置將向右移；若在其重心的右側減少質量，則重心位置將向左移.

當滿杯水時，重心在幾何中心，位于水面以下.當開始放水時，是在整體重心上方減少質量，則重心將下移，同時水面也下降，但由于杯的重心固定不動，則整體重心下降的速度比水面下降的速度慢，當水面下降到與整體重心重合時，若繼續放水，則是在整體重心下方減少質量，那么整體重心將上升，由此可見，整體重心的位置是先降后升，因此整體重心的高度存在最小值，即當水面與整體重心的位置重合時，整體重心的位置最低.

以杯底為重力勢能的零勢能面，當整體的重心最低時，重心位于水面上，設此時杯中水的高度為l，則水的質量為

其重力勢能為

杯的重力勢能為

整體重心到杯底的高度也為l，則整體的重力勢能為

根據整體的重力勢能等于各部分的重力勢能之和有

代入并整理得

解得

所以整體重心位置的最小值即水面的高度為

圖3

整理得

由此可解得整體重心位置到杯底距離的最小值.

1 宮長瑩，石安山.探究飲料杯重心的變化規律.物理通報，2011（3）：70～71