談向量與概率在不等式證明中的應用

【摘要】通過構造適當的向量、概率模型，利用向量的內積公式、概率的加法公式及概率的性質來證明不等式.

【關鍵詞】向量；概率模型；內積；不等式

不等式滲透在數學的各個分支，有著十分廣泛的應用.不等式的證明蘊含了豐富的邏輯推理，證明過程千姿百態，證明方法靈活多樣，對數學各部分知識的融會貫通起到很好的促進作用.對于一些不等式，單純用不等式的性質及公式，采用傳統的證明方法來證明，有時比較困難.學習了向量及概率后，通過構造向量及概率模型，再利用向量的內積公式及概率的加法公式來證明，則顯得比較容易.現通過幾例說明其用法.

一、用向量的數量積證不等式

對于求證式中含有乘積的和及乘方的和時，可考慮構造適當的向量，利用向量數量積公式a#8226;b=|a||b|cosθ≤|a||b|及其坐標表示的公式來證明.

例1 設ai，bi∈R，i=1，2，3.求證：(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，當且僅當b1a1=b2a2=b3a3時等號成立.

證明 構造向量p=（a1，a2，a3），q=（b1，b2，b3），則

|p|2=a21+a22+a23，|q|2=b21+b22+b23.

∵(p#8226;q)2=(a1b1+a2b2+a3b3)2，

而(p#8226;q)2=|p|2|q|2cos2θ≤|p|2|q|2=(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)，

即(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2成立.

當b1a1=b2a2=b3a3時，p與q同向或反向，此時θ=0或π，

∴cosθ=±1，cos2θ=1，等號成立.

例2 已知f(x)=1+x2，a≠b，求證：|f(a)-f(b)|<|a-b|.

分析 要證的不等式等價于|1+a2-1+b2|2<|a-b|2，兩邊化簡，得(1+a2)(1+b2)>1+ab，故可構造向量來證.

證明 構造向量p=（1，a），q=（1，b），

∴|p|=1+a2，|q|=1+b2.

則(p#8226;q)=1+ab=|p||q|cosθ≤|p||q|=(1+a2)(1+b2).

∵a≠b，∴p≠q，

∴兩向量夾角θ≠0，故等號不成立.

即(1+a2)(1+b2)>1+ab，

兩邊同乘-2后再加上a2+b2，整理可得

(1+a2-1+b2)2<(a-b)2，

即|1+a2-1+b2|2<|a-b|2.

故|f(a)-f(b)|<|a-b|成立.

二、利用概率的性質及加法公式證不等式

對于一類涉及0與1的不等式，常可考慮構造概率模型利用概率性質0≤p(A)≤1及加法公式：

p(A1+A2+A3+…+An)=∑ni=1p(Ai)-∑1≤i

例3 已知x，y，z∈(0，1)，求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析 求證式去括號后，即x+y+z-xy-yz-xz<1.

證明 設A，B，C是相互獨立的三個事件，且p(A)=x，p(B)=y，p(C)=z.

由概率性質0≤p(A+B+C)≤1，得

p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)≤1.

即x+y+z-xy-xz-yz+xyz≤1.

∵x，y，z∈(0，1)，∴xyz>0，∴x+y+z-xy-xz-yz<1.

即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1成立.

例4 已知x∈0，π2，求證：4+sin2x1+2sinx+π4≥2.

分析 原式即4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2，由條件知0≤sinx≤1，0≤cosx≤1，所以即需證2+sinxcosx≥1+sinx+cos，即需證1≥sinx+cosx-sinxcosx成立.顯然利用概率模型來證極為簡單.

證明 設兩獨立事件A與B，且p(A)=sinx，p(B)=cosx，則p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=sinx+cosx-sinxcosx≤1，

∴2+sinxcosx≥1+sinx+cosx.

∵x∈0，π2，故sinx≥0，cosx≥0，即得4+2sinxcosx1+sinx+cosx≥2，

∴4+sin2x1+2sinx+π4≥2成立.

例5 若x>1，求證：x3>x+1x-1.

分析 ∵x>1，∴不能將x看做某些事件的概率，但易想到有0<1x<1，這時若將不等式兩邊同除x3，則可得1>1x2+1x4-1x3，該式基本具備可利用概率模型的條件.

證明 設A，B是兩個相互獨立事件，

∵x>1，∴0<1x2<1，0<1x4<1.

令p(A)=1x2，p(B)=1x4，則

1>p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=1x2+1x4-1x6.

∵x>1，∴x6>x3，∴-1x6>-1x3.

即1>1x2+1x4-1x3成立，∴x3>x+1x-1成立.

以上幾例都是常見的不等式證明題，雖然有的題用常規方法證明也不難，但通過利用構造向量方法或概率方法來證以后，不僅開闊了解題思路，同時也使一些有難度的證題變得容易了，這對于提高學生分析問題、解決問題的能力無疑是有益的.

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