函數單調性證明過程中的變形方向

在函數單調性的證明過程中，學生往往變形不夠到位就忙于判斷符號，結果導致不必要的錯誤發生.下面就幾種不同類型函數單調性的證明，看看變形的方向.

一、多項式型

例1 （蘇教版必修1 P43 第7題第（1）小題）求證：函數f(x)=-2x2+3在區間(-∞，0］上是單調增函數.

證明 設任意的x1，x2∈(-∞，0］，且x1

f(x1)-f(x2)=(-2x21+3)-(-2x22+3)=2(x22-x21)=2(x2+x1)(x2-x1).

∵x1，x2∈(-∞，0］，x1

∴x2+x1<0，x2-x1>0，∴2(x2+x1)(x2-x1)<0，

∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

∴函數f(x)=-2x2+3在區間(-∞，0］上是單調增函數.

而學生往往在變形到“=2(x22-x21)”時就開始判斷符號，“∵x1

二、分式型

例2 （蘇教版必修1 P43 第7題第（4）小題）求證：函數f(x)=x+1x在區間(0，1］上是單調減函數，在區間［1，+∞)上是單調增函數.

證明 設任意的x1，x2∈(0，1］，且x1

f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)x1x2-1x1x2.

∵00，x1x2-1<0.

∴(x1-x2)(x1x2-1)x1x2>0，

∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).

∴函數f(x)=x+1x在區間(0，1］上是單調減函數（在區間［1，+∞)上可仿照證明）.

學生在證明過程中，當變形到“=(x1-x2)+1x1-1x2”時就開始判斷符號，有兩個地方易犯錯誤：（1）由“x11x2”；（2）“x1-x2<0”，而“1x1-1x2>0”，式子“(x1-x2)+1x1-1x2”的符號如何確定？

像這種函數解析式中含有分式的，在變形時最好先通分，變成“積商”的形式再作判斷.

三、根式型

例3 求證：函數f(x)=x-1在區間［1，+∞)上是單調增函數.

證明 設任意的x1，x2∈［1，+∞)，且x1

f(x1)-f(x2)=x1-1-x2-1=(x1-1-x2-1)(x1-1+x2-1)x1-1+x2-1=x1-x2x1-1+x2-1 .

∵1≤x1

∴x1-x2x1-1+x2-1<0，

∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

∴函數f(x)=x-1在區間［1，+∞)上是單調增函數.

像這種含有“根式型”的作差變形，常常采取“分子有理化”的辦法來處理.

四、抽象函數型

例4 已知函數f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)+f(y)=f(x+y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)=-23.求證：f(x)是R上的減函數.

證明 令x=y=0，f(0)=0，令x=-y，可得x=-y=0，f(-x)=-f(x)，在R上任取x10，由條件知f(x2-x1)<0.

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，∴x1f(x2)，由函數單調性的定義，可知f(x)是R上的減函數.

抽象函數是指沒有給出具體解析式的函數.由于抽象函數具有一定的抽象性，其性質隱而不露，因而學生對抽象函數問題比較害怕，特別是對抽象函數單調性的證明更是百思不得其解.其實，大量的抽象函數都是以中學階段所學的基本函數為背景抽象而得，證明時，若能從研究抽象函數的“背景”入手，根據題設中抽象函數的性質，通過類比，猜想出它可能為某種基本函數，選擇不同的“設”(即設兩個不相等自變量)，靈活選擇作差或作商比較大小，從而判斷函數的單調性即可.

鞏固練習

1證明：函數f(x)=x2-2x在區間(1，+∞)上是增函數.

2證明：函數f(x)=x-1x在區間(0，+∞)上是增函數.

3證明：函數f(x)=4x+5在區間-54，+∞是增函數.

4已知函數f(x)的定義域為R，對任意實數m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12，且f12=0，當x>12時，f(x)>0.求證：函數f(x)是R上的增函數.

參考答案：1，2，3略.

4證明 任取x1，x2∈(-∞，+∞)，且x1

∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)+12-f(x1)=f(x2-x1)+f12+12=fx2-x1+12.

∵x2>x1，∴x2-x1+12>12.

又 當x>12，f(x)>0，∴fx2-x1+12>0，

即f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，

∴函數f(x)在(-∞，+∞)上是增函數.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文