逆函數在一些定積分中的應用

【摘要】本文介紹一種逆函數積分法，來求解一些常見的、比較難積的定積分.

【關鍵詞】逆函數；定積分

一些比較簡單函數的逆函數的定積分往往比較復雜，有時通過逆函數的定積分來求解原函數的定積分，往往會給解題過程帶來很大的方便.

當f（x）的逆函數f-1（x）存在時，有如下等式成立：

∫baf（x）dx=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx.（1）

上式的成立條件是f（x）的逆函數f-1（x）存在，即f（x）為單調函數.

簡要說明如下：

由定積分的意義知，積分值就是函數曲線與x軸之間的面積，如圖所示，即S0=∫baf（x）dx.

由幾何關系：

S0=S-S1-S2=bf（b）-af（a）-S1.

S1可以用f（x）的逆函數f-1（x）表示出來，以y為自變量，x為因變量，因而x=f-1（y），于是：

S1=∫f(b)f(a)f-1（y）dy=∫f(b)f(a)f-1（x）dx，

所以S0=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx，

即∫baf（x）dx=bf（b）-af（a）-∫f(b)f(a)f-1（x）dx.

雖然，在此（1）式是以第一象限的單調遞增函數得到的，但利用同樣的分析方法，可以推廣到整個x-y平面.

首先，以一道簡單的例子驗證（1）式：

例1 求∫21xdx的值.

解 顯然，∫210.5xdx=0.25x2|21=0.75.

利用（1）式：

∫21xdx=2×1-1×0.5-∫1052xdx=1.5-x2|105=0.75.

顯然，利用逆函數積分法（1）式的計算結果與直接計算的結果是相符的.

下面利用逆函數積分法來計算一下常規方法比較難以積出來的定積分.

一、利用逆函數積分法可以很方便地解出反三角函數的定積分

例2 求∫10arccosxdx，0≤x≤π2.

解 利用逆函數積分法：

∫10arccosxdx=1×0-0×π2-∫0π2cosxdx

=∫π20cosxdx

=sinxπ20=1.

二、利用逆函數積分法可以很方便地解出對數函數的定積分

例3 求∫21lnxdx.

解 令y=lnx，于是ey=x，

即y=lnx的逆函數為y=ex.

利用逆函數積分法：

∫21lnxdx=2×ln2-1×0-∫ln20exdx

=2ln2-（eln2-1）=2ln2-1.

因此，只要被積函數的逆函數比原函數容易積，都可以采用逆函數積分法來求解.（1）式只能對單調函數成立，為了更適用于一般的函數，可以將逆函數積分法（1）式作推廣.顯然，只要把被積函數按照單調性分為若干區間，于是在每個區間上被積函數都單調，再應用（1）式即可.

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