簡(jiǎn)證女子競(jìng)賽題及推廣

解數(shù)學(xué)題更多地應(yīng)強(qiáng)調(diào)以最基本的理論和最基礎(chǔ)的方法為主，這就是我們學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)的宗旨.

2009年女子數(shù)學(xué)奧林匹克第5題：設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z大于或等于1，求證：(x2-2x+2)(y2-2y+2)(z2-2z+2)≤(xyz)2-2xyz+2.

文［1］的證法有新意，但未必簡(jiǎn)單，類似這樣的做法很多，本題應(yīng)該說太有規(guī)律了，如果題目改為n個(gè)變量，大家很快就會(huì)想到數(shù)學(xué)歸納法，三個(gè)變量的時(shí)候就為什么沒人去想想數(shù)學(xué)歸納法？下面用數(shù)學(xué)歸納法將其推廣，并給出它的統(tǒng)一證明.

設(shè)實(shí)數(shù)ai≥1，i=1，2，…，n，求證：∏ni=1(a2i-2ai+2)≤∏ni=1ai2-2∏ni=1ai+2.

證明 當(dāng)n=2時(shí)，即證(a21-2a1+2)(a22-2a2+2)≤(a1a2)2-2a1a2+2.

展開整理，易得(a1-1)(a2-1)(a1+a2-1)≥0，命題顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即

∏ki=1(a2i-2ai+2)≤∏ki=1ai2-2∏ki=1ai+2.

∵ai≥1，故a2k+1-2ak+1+2≥1，

∴由假設(shè)出發(fā)(a2k+1-2ak+1+2)∏ki=1(a2i-2ai+2)=∏k+1i=1(a2i-2ai+2)≤(a2k+1-2ak+1+2)#8226;∏ki=1ai2-2∏ki=1ai+2≤∏k+1i=1ai2-2∏k+1i=1ai+2（當(dāng)n=2時(shí)命題成立），

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，因此命題對(duì)一切自然數(shù)都成立；

當(dāng)n=3時(shí)，即本題，這樣一舉兩得又把命題推廣了.

【參考文獻(xiàn)】

［1］李歆.一道女子競(jìng)賽題的簡(jiǎn)證及其推廣.數(shù)學(xué)通訊，2010（4）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文