與你一起復習集合問題

【摘要】集合是同學們步入高中要學習的第一個數學概念，是高中數學中最基本的概念，為了幫助同學們更好地理解集合的有關概念，弄懂集合的各個概念的涵義和相互之間的區別與聯系，現將知識要點歸納如下：（1）考點詮釋.考查內容主要包括:集合的涵義與表示、集合間的基本關系、集合的基本運算三個方面，以及與其他知識交匯命題.（2）考試攻略.主要包括：從“元素”二字入手，強化數形結合思想，小心易錯點，遠離陷阱.

【關鍵詞】集合；復習

集合是同學們步入高中要學習的第一個數學概念，是高中數學中最基本的概念，它已滲透到自然科學的各個領域，應用十分廣泛.為了幫助同學們更好地理解集合的有關概念，弄懂集合的各個概念的涵義和相互之間的區別與聯系，并能夠準確運用集合的術語、符號和運算解決有關問題，為今后的數學學習做好鋪墊，現將知識要點歸納如下：

一、考點詮釋

集合高考題一般可分兩類：一類是涉及集合要領及運算的選擇題與填空題；一類是以集合為載體，綜合其他數學知識構成的綜合題.重視邏輯推理能力的考查是集合在高考命題中的亮點之一，注重學科綜合滲透是集合在高考命題中的亮點之二.考查內容主要包括:集合的涵義與表示、集合間的基本關系、集合的基本運算三個方面以及與其他知識交匯命題.

1集合的涵義與表示

對于考查集合的基本概念的題目難度一般不大，但要注意一些涉及“新概念”的集合問題，要理解“新概念”集合的實質內涵，并結合集合的基本特征加以求解，這也是近年來考查較突出的一個知識點.

集合的表示方法主要有列舉法、描述法、圖示法，其中圖示法主要有韋恩圖法、數軸法.用數軸表示應注意兩點：（1）能取到的點用實心表示，否則用空心圓區分.（2）大于小于用折線表示，這樣會清晰一點.

2集合間的基本關系

判斷兩個集合之間的關系，就是要判斷一個集合的元素是否是另一個集合的元素，從而加以判斷幾個集合之間的包含或相等關系.對于集合間的關系，以下幾個重要結論或許能助你一臂之力：

（1）空集是任何非空集合的真子集;

（2）任何集合都是它本身的子集;

（3）子集、真子集都有傳遞性，例如，若AB，BC，則AC;

（4）n個元素組成的集合的子集有2n個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.

3集合的基本運算

掌握兩個集合的交、并、補運算.在解題時要選擇適當的集合運算方法，結合相關知識加以求解.注意在集合的運算中，一般應把各參與運算的集合化到最簡形式，再用數形結合思想進行運算.

二、考試攻略

集合是重要的基礎知識，與其他數學內容聯系廣泛，必須認真學好.那么同學們在學習和運用集合知識過程中，如何才能處理好集合問題呢？下面三個攻略可助你一臂之力.

攻略一 從“元素”二字入手

集合是元素的總體，所以認識集合的關鍵是先認清元素，因此在學習過程中，要注意養成先看元素再定集合的習慣.無論集合如何變化，萬變不離元素，抓住元素方能解決問題.

例1 ①已知集合A={圓}，集合B={直線}，則A∩B的元素個數是.

②已知集合A={P|P是圓上的點}，集合B={P|P是直線上的點}，則A∩B的元素個數是.

分析 集合是由元素組成的，所以集合的本質就是元素，認真區分集合中的元素是什么、有多少，才能準確求解集合問題.

解析 ①中的兩個集合都是圖形的集合，它們的元素一個是圓，一個是直線，二者沒有公共元素，所以交集應為空集，答案為0；

②中的兩個集合都是點集，它們的元素都是點，故A∩B是直線和圓的交點組成的集合，根據直線和圓相離、相切和相交的位置關系，答案應為0或1或2.

評注 以上兩個問題中的集合看似相同，但分析元素后，二者卻大相徑庭.

攻略二 強化數形結合思想

與集合元素有關的計數問題牽涉因素較多，看上去錯綜復雜.借助數形結合思想表示集合與集合的關系，既易于理解，又能提高解題效率.

例2 某班50名學生中，訂《數學周報》的有36人，訂《英語周報》的有20人，既訂《數學周報》又訂《英語周報》的有14人，問：既不訂《數學周報》又不訂《英語周報》的有多少人？

分析 此類集合問題比較抽象，解題時若能借助圖形，采取數形結合的思想方法，往往可將問題直觀化、形象化，使問題靈活、直觀地獲解.

解 設全集U＝{某班50名學生}，A＝{訂《數學周報》的學生}，B＝{訂《英語周報》的學生}，A∩B＝{既訂《數學周報》又訂《英語周報》的學生}，則由韋恩圖知，既不訂《數學周報》又不訂《英語周報》的學生有：50－22－14－6＝8(人).

評注 對于某些應用題，若能構造韋恩圖求解，可使問題變得簡單明了.

攻略三 小心易錯點，遠離陷阱

集合問題雖不太難，但一不小心也易出錯.很多同學因忽視空集而導致錯解.也有部分同學忽視集合元素的互異性而出錯.因此在解題過程中，應處處小心是否有陷阱.

例3 若A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax-2=0}，且A∩B=B，求由實數a組成的集合C.

分析 易忽視B=這一陷阱，對于任何一個集合A，都有A∩=.

解 由A={x|x2-2x-3=0}，解得A={-1，3}.

①當B≠時，∵A∩B=B，∴BA，從而B={-1}或B={3}.

當B={-1}時，由a×(-1)-2=0，解得a=-2；同理，當B={3}時，解得a=23.

②當B=時，由ax-2=0無實數根，解得a=0.

綜上可知，實數a組成的集合C=-2，0，23.

評注 解決有關A∩B=，A∪B=，AB等集合問題，易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中全方位、多角度審視問題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文