條件極值引出的問題解決

在高等數學中，我們會遇到大量求多元函數的最值問題，多元函數的最大值、最小值與極大值、極小值有著密切的聯系.同時，求多元函數的極值時，還會遇到對自變量有附加條件的極值問題，即條件極值.對自變量無附加條件約束的極值稱為無條件極值.教學中，當講到拉格朗日乘數法時，學生往往會對條件極值提出很多質疑，本文就條件極值的若干問題加以探討.

一、極值是什么，怎樣求極值

條件極值與極值有密切的關系，它們都刻畫的是函數在局部范圍的最值問題.同濟大學數學系編的《高等數學》教材上關于二元函數極值的定義是：

定義 設函數z=f(x，y)的定義域為D，P0(x0，y0)為D的內點.若存在P0的某個鄰域U(P0)D，使得對于該鄰域內異于P0的任何點(x，y)，都有f(x，y)f(x0，y0)，則稱函數f(x，y)在點(x0，y0)有極小值f(x0，y0)，點(x0，y0)稱為函數z=f(x，y)的極小值點.極大值、極小值統稱為極值，使得函數取得極值的點稱為函數的極值點.

把二元函數推廣到n元函數，即得多元函數極值的概念：設n元函數u=f(P)在點P0的某一鄰域U(P0)內有定義，如果對于該鄰域內異于P0的任何點P都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0))，則稱函數u=f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0).

求z=f(x，y)的極值的一般步驟為：

第一步 解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0，求出f(x，y)的所有駐點.

第二步 求出函數f(x，y)的二階偏導數，依次確定各駐點處A，B，C的值，并根據AC-B2的符號判定各個駐點是否為極值點.最后求出函數f(x，y)在極值點處的極值.

二、條件極值是什么，如何求

條件極值是高等數學多元函數極值理論中一類重要的問題，但是教材沒有給出嚴格的定義，都以敘述的形式表達.如“求多元函數的極值時，對于函數的自變量，除了限制在函數的定義域內以外，往往還受其他附加條件的限制，我們把這種對自變量有其他附加條件約束的極值稱為條件極值”等等.關于怎樣求條件極值，教材交代了兩種方法.其一，求解約束條件比較簡單的條件極值問題時，可以把條件極值化為無條件極值，然后加以解決.其二，直接尋求求條件極值的方法，也是教材花大篇幅介紹的方法，即拉格朗日乘數法.先引入Lagrange函數L，再求出此函數的駐點，然后做進一步的判斷.用拉格朗日乘數法雖然很方便，但極值點的判定卻比較麻煩.

三、求極值的方法和拉格朗日乘數法運用的異同是什么

二元函數的極值問題，一般是利用偏導數來解決.拉格朗日乘數法是通過引入Lagrange函數L，從而將有約束條件的極值問題化為普通的無條件的極值問題.從思想上看，兩種方法均是縮小自變量的取值范圍，先找出候選點（即可能的極值點），再試圖縮小范圍得到真的極值點.

四、能否先求駐點和偏導數不存在的點，再篩選

教材在條件極值的定義上存在著不嚴謹之處，導致的結果是在教學過程中，學生往往會產生這樣的困惑：既然極值是在駐點和偏導數不存在的點中尋找，而條件極值只不過是對自變量附加了額外的條件，那求條件極值時完全可以采用先求函數的駐點和偏導數不存在的點，再根據附加條件對駐點加以篩選和排除，最終對剩余的駐點和偏導數不存在的點做進一步真偽判斷即可，何苦要引入拉格朗日函數使得問題復雜化呢？

關于這個問題，有一種辦法是通過某題按照不同的方法得出不同的結果加以反駁，但最好的辦法是揭示二者的本質區別.事實上，以二元函數為例來說，設函數z=f(x，y)的定義域為D，若函極的極值點為P0(x0，y0)，極值為z0，表明在曲面z=f(x，y)上，點(x0，y0，z0)是它較小周圍中最高的或者最低的一個點，也可以說點(x0，y0，z0)是它較小周圍最凸的或者最凹的點，還可以說在點P0(x0，y0)的較小周圍（即存在P0的某個鄰域U(P0)D），P0(x0，y0)的函數值z0是最大的或者最小的.然而，對同樣的函數z=f(x，y)，附加條件g(x，y)=0后，若條件極值為z1，對應的極值點為P1(x1，y1)，表明的是在曲面z=f(x，y)上，點(x1，y1，z1)不一定是它較小周圍中最高的或者最低的一個點，而是沿著柱面g(x，y)=0與曲面z=f(x，y)的交線看，點(x1，y1，z1)是它附近最高的或者最低的一個點，也可以說沿著柱面g(x，y)=0與曲面z=f(x，y)的交線看，點(x1，y1，z1)是它附近最凸的或者最凹的點，還可以說在xOy平面上沿著g(x，y)=0看，在點P1(x1，y1)的附近，P1(x1，y1)的函數值z1是最大的或者最小的.因此，盡管極值和條件極值都是函數值互相比較大小的結果，是局部小范圍的最值，但這兩種情況下要考察的自變量的取值范圍卻有很大的區別：無條件極值互相比較函數值的考察范圍是在點P0(x0，y0)的鄰域U(P0)中，此領域是一個圓形區域，而條件極值互相比較函數值的考察范圍是在g(x，y)=0這條曲線上點P1(x1，y1)的附近，此“附近”是一段曲線弧，當自變量在附加條件形成的區域中取值時，臨靠近條件極值點時，以條件極值為最值.反映在函數圖像上，前者是面上的考量，后者是線上的考量.顯然，當無條件極值的極值點同時也滿足條件極值附加條件g(x，y)=0的情況發生時，這樣的無條件極值點一定也是條件極值點，另一方面，當滿足g(x，y)=0的條件極值點確定后，這樣的條件極值點不一定是無條件極值點.條件極值點和無條件極值點可以有非空交集，也可以交集為空.附加條件不是g(x，y)=0情形可做類似分析.

有了上述剖析，學生的困惑就迎刃而解.如若“先求函數的駐點和偏導數不存在的點，再根據附加條件對駐點加以篩選和排除”，這樣就會漏掉一些可能的條件極值點，使得解題不全面.

五、結 語

在約束條件g(x，y)=0下討論二元函數z=f(x，y)的極值問題時，如果由g(x，y)=0能求得x或y，此時把求二元函數的條件極值可轉化為求一元函數的極值.但有時通過方程g(x，y)=0解得x或y并不是一件容易的事情，使用這種方法就困難了.在教授學生新知識、新概念時，教師對學生容易或者可能出現的錯誤要有足夠的認識，對學生產生的疑難，要從本質上加以解決，給學生留下深刻的印象，防止日后重犯錯誤.

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