例談構(gòu)造輔助數(shù)列求遞推數(shù)列的通項公式

縱觀近幾年全國和各省市的高考數(shù)學(xué)題，不難發(fā)現(xiàn)高考對遞推數(shù)列的考查仍然是重點內(nèi)容之一.由于所給的遞推數(shù)列形式變化多樣，從而使其通項公式的求法成為教學(xué)中的一大難點，本文主要談?wù)勅绾螛?gòu)造輔助數(shù)列去求解幾類常見遞推數(shù)列的通項公式.

類型一 遞推公式為an+1=kan+b型

當(dāng)k=1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列;當(dāng)k≠1時，則將原式變形為an+1+x=k(an+x)的形式，利用待定系數(shù)法與原式比較得x=bk-1，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列{an+x}，它是以a1+x為首項，k為公比的等比數(shù)列，所以通項公式an=(a1+x)kn-1-x.

例1 已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，n=1，2，3，…求數(shù)列{an}的通項公式.(解法略)

類型二 遞推公式為an+1=kan+f(n)型

若k=1，當(dāng)f(n)可求和時，則可用疊加法求數(shù)列{an}的通項公式；若k≠1，則對f(n)進(jìn)行分類：

1當(dāng)f(n)=an+b時，則將原式變形為an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)的形式，利用待定系數(shù)法與原式比較得A=ak-1，B=bk-1+a(k-1)2，從而構(gòu)造出一個新的輔助數(shù)列{an+An+B}，它是以a1+A+B為首項，k為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的通項公式an=(a1+A+B)kn-1-An-B.

2當(dāng)f(n)=an2+bn+c時，則將原式變形為an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C=k(an+An2+Bn+C)的形式，其余與上一類型相似.

例2 已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1+2an=n+2，n=1，2，3，…求數(shù)列{an}的通項公式.（解法略）

3當(dāng)f(n)=qn(q≠0，1)時，則將原式兩邊同除以qn+1，得an+1qn+1=kq#8226;anqn+1q，令bn=anqn，則原式化為bn+1=kqbn+1q，從而轉(zhuǎn)化為第一類型題.

例3 已知數(shù)列{an}中a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，其中λ>0，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 將原式變形為an+1-2n+1=λ(an-2n)+λn+1，

等式兩邊同除以λn+1，得an+1-2n+1λn+1=an-2nλn+1.

∴數(shù)列an-2nλn，它是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.

∴an-2nλn=n-1，∴an=(n-1)λn+2n.

本題從表面看形式比較復(fù)雜，也無法直接套用以上結(jié)論，但將其先適當(dāng)變形之后問題則完全符合第三種類型，從而問題迎刃而解.

例4 （2010年重慶卷）已知數(shù)列{an}中a1=1，an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*)，其中c≠0，求數(shù)列{an}的通項公式.（解法略）

類型三 遞推公式為an+2=pan+1+qan型

當(dāng)a1=a，a2=b時，先將上式變形為(an+2-xan+1)=y(an+1-xan)，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列{an+1-xan}，它是以a2-xa1為首項，y為公比的等比數(shù)列，其中p=x+y，q=-xy，從而可將此類題化為第二類型第三種題.

例5 （2009年全國Ⅱ卷））設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，已知Sn+1=4an+2，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 由a1=1，得a2=5.又由Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，

兩式相減，得an+2=4an+1-4an.

將上式變形為(an+2-2an+1)=2(an+1-2an)，

∴輔助數(shù)列{an+1-2an}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an+1-2an=3×2n-1.

∴由類型二知等式兩邊同除以2n+1，得an+12n+1-an2n=34.

∴數(shù)列an2n是以12為首項，34為公差的等差數(shù)列.

∴an2n=12+(n-1)×34，∴an=(3n-1)2n-2.

類型四 遞推公式為an+1=mankan+b型

此類問題可利用倒數(shù)法對原式兩邊同時取倒數(shù)變形，得1an+1=bm#8226;1an+km，從而將此類問題轉(zhuǎn)化為第一類型題.

例6 （2008年陜西卷）已知數(shù)列{an}中a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，…求數(shù)列{an}的通項公式.

解 將an+1=3an2an+1兩邊取倒數(shù)，得1an+1=13#8226;1an+23.

∴1an+1-1=131an-1.

∴數(shù)列1an-1是以23為首項，13為公比的等比數(shù)列.

∴1an-1=23#8226;13n-1=23n，∴an=3n3n+2.

類型五 遞推公式為an+1=kabn型

若數(shù)列{an}為正項數(shù)列，則可利用對數(shù)變換法在原式兩邊同時取對數(shù)，從而將原式轉(zhuǎn)化為第一類型題.

例7 設(shè)正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an=2a2n-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項公式.

解 兩邊取對數(shù)，得log2an=1+2log2an-1.

∴l(xiāng)og2an+1=2(log2an-1+1).

令bn=log2an+1，∴bn=2bn-1.

∴{bn}是以b1=log21+1=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列.

∴bn=1×2n-1=2n-1，即log2an+1=2n-1.

∴an=22n-1-1.

本題解決的關(guān)鍵是等式兩邊同時取對數(shù)，從而將原式的次數(shù)降低，而對數(shù)底數(shù)的選取可由題目條件靈活處理，如本題還可選取以10為底的對數(shù).

例8 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2#8226;3na5n，a1=7，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 an+1=2#8226;3na5n，a1=7，∴an>0，an+1>0.

在an+1=2#8226;3na5n式兩邊取常用對數(shù)，得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2.

由此該題轉(zhuǎn)化為第二類型題，以下解略.

本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式an+1=a3(n+1)2nn兩邊取常用對數(shù)，得lgan+1=3(n+1)#8226;2nlgan，即lgan+1lgan=3(n+1)#8226;2n.再由累乘法可推知lgan=lganlgan-1#8226;lgan-1lgan-2#8226;…#8226;lga3lga2#8226;lga2lga1#8226;lga1=lg53n-1#8226;n!#8226;2n(n-1)2，從而an=53n-1#8226;n!#8226;2n(n-1)2.

類型六 遞推公式為an+1=aan+bcan+d型，其中ad≠bc，c≠0，a1≠-dc

方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點，對此類型題可利用不動點法先令x=ax+bcx+d，再解關(guān)于x的方程：

1當(dāng)方程只有一個根x0(其中x0=a-d2c)時，則將原式變形為1an+1-x0=1an-x0+p，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列1an-x0是以p=ca-cx0=2ca+d為公差的等差數(shù)列.

例9 已知數(shù)列{an}滿足an+1=7an-22an+3，a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 令x=7x-22x+3，得2x2-4x+2=0，解得x=1.

∴數(shù)列1an-1是以1a1-1=12-1=1為首項，以25為公差的等差數(shù)列.

∴1an-1=1+(n-1)#8226;25，∴an=2n+82n+3.

2當(dāng)方程有兩個不同的根x1，x2時，則將原式變形為an+1-x1an+1-x2=q#8226;an-x1an-x2，從而構(gòu)造出輔助數(shù)列an-x1an-x2，它是以q=a-cx1a-cx2為公比的等比數(shù)列.

例10 已知數(shù)列{an}滿足an+1=21an-244an+1，a1=4，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 令x=21x-244x+1，得4x2-20x+24=0，

解得x1=2，x2=3.

∴數(shù)列an-2an-3是以a1-2a1-3=4-24-3=2為首項，以q=21-4×221-4×3=139為公比的等比數(shù)列.

∴an-2an-3=2139n-1，

∴an=12139n-1-1+3.

以上方法對an+1=aa2n+b2aan+c這種類型題也同樣適用.

解決遞推數(shù)列問題的基本原則就是對數(shù)列的遞推式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，從而把遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)換為大家熟悉的兩類基本數(shù)列進(jìn)行處理.由于遞推數(shù)列的形式變化多樣，因此在做題時應(yīng)仔細(xì)觀察題型，靈活變形，找到與之匹配的解法.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文