探討高考數學中恒成立問題

【摘要】高考中的恒成立問題，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個熱點.本文就這一問題進行探討.

【關鍵詞】恒成立；分離變量；數形結合；函數的性質；變更主元

近年來，高考數學和競賽數學試題中常常出現這樣一類問題：含參數變量的“恒成立”不等式問題.成功解決這類問題往往需要有良好的觀察與分析、靈巧的轉化與代歸、高水平的運算與推理能力.怎樣轉化問題才能有利于問題的解決，始終是同學們倍感頭疼的事情.本人認為下面幾種策略比較實用，同時還有助于學生提高數學思維.

策略一 分離變量法

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的值域或最值問題求解.

如果不等式f(x)>M對屬于某個區間的一切自變量x都成立，那么只要f(x)在這個區間上的最小值大于M即可，即f(x)min>M；同樣如果不等式f(x)

例1 （石家莊畢業班檢測）已知函數f(x)=x2#8226;eax(x∈R)，其中e為自然對數的底數，a∈R，若對任意的a>0，都有f(x)≤f′(x)+x2+ax+a2+1aeax成立，求x的取值范圍.

解析 ∵f(x)=x2#8226;eax，f′(x)=(2x+ax2)eax，

∴原不等式等價于x2#8226;eax≤(2x+ax2)#8226;eax+x2+ax+a2+1aeax，

a+1a(x2+1)≥x2-3x，亦即a+1a≥x2-3xx2+1.

∵對于任意的a>0，a+1a≥2a#8226;1a=2（當且僅當a=1時取等號），

∴只需x2-3xx2+1≤2，解得x≤-2或x≥-1.

本題中的不等式兩邊都有a，若直接求解不太容易，因此可以先對不等式進行化簡變形，把含有a的項全部放在不等號一邊，另一邊看成關于x的函數，從而得以解決.特別要注意，用上述方法解不等式恒成立問題時，a必須是一個與自變量x無關的量，否則不能轉化！

變式 （2010年天津卷）已知函數f(x)=x2-1，對任意x∈32，+∞，fxm-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求實數m的取值范圍.

該題與例1看似有所不同，這里是求參數m的取值范圍，而例1是求參數x的取值范圍，但不管哪一類情況，主要滲透的都是分離變量法的思想.

策略二 數形結合法

數形結合是指根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，通過研究對象的數學特征（代數含義、幾何意義），使數量關系和空間形式有機地結合起來，從而找到問題解決的途徑和方法.在實際問題解決過程中，常常把數量關系的問題轉化為圖形的性質去討論，或者把圖形的問題轉化為數量關系來研究.“數”與“形”是數學的基本研究對象，它們之間存在著對立統一的辯證關系.數形結合，就是在解決代數問題時，揭示出隱含在它內部的幾何背景，啟發思維，找到解題途徑；或者在研究幾何圖形時，注意從代數的角度，通過數量關系的研究解決問題.在解決有關恒成立的問題時，數形結合思想更是發揮了意想不到的作用.

例2 若不等式logax>sin2x(a>0且a≠1)對于任意x∈0，π4都成立，求a的取值范圍.

解析 作出函數y=sin2x的圖像.

由題意知，在x∈0，π4，函數y=logax的圖像總在函數y=sin2x的圖像的上方.∴0

作直線x=π4，與y=logax和y=sin2x的圖像分別交于A，B兩點，為保證y=logax在區間0，π4上的圖像在y=sin2x的圖像的上方，不難從圖中得到其條件是點A在點B的上方.

∴當x=π4時，logaπ4>sin2×π4=1=logaa.又0

學生看到這個題目可能一開始束手無策，因為此題中的不等式左邊是對數式，右邊是三角式，很難用初等數學的知識去解這個不等式，但如果想到數形結合的方法，把左右兩邊分別看成兩個函數f(x)與g(x)，把左邊看成對數函數f(x)=logax，右邊看成三角函數g(x)=sin2x，這個不等式f(x)>g(x)對任意x∈0，π4都成立，就轉化為函數y=f(x)的圖像在區間0，π4內都在函數y=g(x)的圖像的上方，這就從一個代數的不等式問題轉化到了一個函數圖像的問題，然后從圖像中尋找條件，就能解決問題.由此我們可以看到，函數與不等式是緊密聯系的，我們在教學的過程中一定要重視初等函數的研究和把握，讓學生熟悉初等函數的圖像和性質，因為它們是解決好多其他問題的基礎.同時在解題過程中要善于轉化，像這個問題的解決其實就用到了把一個很難解決的不等式的問題轉化到了一個可行的函數圖像的問題，這種轉化的思維方式和能力需要我們在平時的教學過程中逐漸培養起來，形成良好的解題思維策略.

數形結合思想是高中數學的一個重要數學思想，貫穿于整個高中數學的學習過程中，許多問題如果借助數形結合思想就可以化繁為簡，利用數形結合思想解題時，思路可以從邊界處（或相等處）開始.

策略三 函數的性質

利用導數我們可以研究函數的性質，而與函數有關的恒成立問題更是在高考中頻繁出現，所以在教學中，教師要講明問題的實質，讓學生真正掌握這一種方法.

例3 （2009年浙江溫州二模）過曲線C：f(x)=x3-ax+b外的點A(1，0)作曲線C的切線恰有兩條.

(1)求a，b滿足的等量關系；

(2)若存在x0∈(0，+∞)使f(x0)>x0#8226;ex0+a成立，求實數a的取值范圍.

解析 由（1），得a=b.（略）

（2）∵存在x0∈(0，+∞)，使f(x0)>x0#8226;ex0+a，

∴存在x0∈(0，+∞)，使x30-ax0>x0#8226;ex0，得x20-a>ex0.

即a0)，問題轉化為求a

評注 利用函數的最大值或最小值是轉化“恒成立”問題的基本方法（變量分離法求解“恒成立”問題也是利用了這種方法的基本思想）.

變式 已知函數f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在區間(1，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍.

策略四 變更主元法

所謂變更主元法，是指將所求范圍的參數視作已知量，將已知范圍的參數視作參變量，從而構成新的函數解析式，再根據這一解析式來求解.

例4 已知f(x)=4x+ax2-23x3(x∈R)在區間［-1，1］上是增函數.

（1）求實數a的值組成的集合A.

（2）設關于x的方程f(x)=2x+13x3的兩個非零實根為x1，x2，試問：是否存在實數m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意的a∈A及t∈［-1，1］恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解 （1）f′(x)=4+2ax-2x2.

∵f(x)在［-1，1］上是增函數，

∴f′(x)≥0對x∈［-1，1］恒成立，即x2-ax-2≤0對x∈［-1，1］恒成立.①

設φ(x)=x2-ax-2，結合開口向上的二次函數圖像的特點可知，只需：

方法一：①φ(1)=1-a-2≤0，φ(-1)=1+a-2≤0-1≤a≤1.

∵對x∈［-1，1］，只有當a=1時，f′(-1)=0以及當a=-1時，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.

方法二：①a2≥0，φ(-1)=1+a-2≤0或a2<0，φ(1)=1-a-2≤0

0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.

∵對x∈［-1，1］，只有當a=1時，f′(-1)=0以及當a=-1時，f′(1)=0，∴A={a|-1≤a≤1}.

（2）由4x+ax2-23x3=2x+13x3，得x=0或x2-ax-2=0.

∵Δ=a2+8>0，∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的兩個非零實根，x1+x2=a，x1x2=-2.

從而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8.

∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2+8≤3.

要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈［-1，1］恒成立，

當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈［-1，1］恒成立，

即m2+tm-2≥0對任意t∈［-1，1］恒成立.②

設g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2)，這是關于t的一次函數，所以只需：

方法一：②g(-1)=m2-m-2≥0且g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.

所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.

方法二：當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，②m>0，g(-1)=m2-m-2≥0或m<0，g(1)=m2+m-2≥0m≥2或m≤-2.

所以，存在實數m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈R及t∈［-1，1］恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}.

該題是福建省高考題，本題第二步變形后得到的不等式中是兩個變量m，t，并且是給出了t的范圍，要求m的相應范圍.若直接從關于m的不等式正面出發求解較難，而把t看作自變量，m看成參變量，則上述問題即可轉化為在區間［-1，1］內關于t的一次函數的函數值大于0恒成立，求參變量m的范圍的問題，進而化難為易，問題得以解決.第一步的解決方法也一樣.

總之，“恒成立”問題的解法思路主要就是轉化，把復雜的問題等價轉化為簡單的、容易解決的問題.而要讓學生做到正確的、靈活的轉化，就要求我們在高中數學的教學過程中，經常引導學生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識，形成知識板塊結構和方法體系，在此過程中不斷提高數學解題能力，增強對數學學習的信心.從而在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.

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