例談“放縮法”證明不等式

【摘要】放縮法是證明不等式的重要方法和技巧之一，放縮法的合理運用，往往能收到事半功倍的效果.“放縮法”可以和各塊知識內容結合，對應變能力有較高的要求，學生普遍感到很難駕馭，不知道如何放縮才能達到理想的彼岸.筆者結合自己的教學體會，對放縮法的類型及常見的方法進行了歸類整理，以期對讀者能有所幫助.

【關鍵詞】數學；放縮法

一、兩類基本的放縮類型

所謂放縮法，即要證明不等式A

1添加、刪除某些項（項數變了）

例1 已知a，b，c，d∈R+，求證：1

證明 aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+c>

aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=

a+b+c+da+b+c+d=1，

aa+b+d+bb+c+a+cc+d+b+dd+a+c<

aa+b+ba+b+cc+d+dc+d=a+ba+b+c+dc+d=1+1=2，

∴1

2增大、減小某些項（項數不變）

例2 證明：12-1n+1<122+132+…+1n2

證明 122+132+…+1n2<11×2+…+1(n-1)n=

1-12+12-13+…+1n-1-1n=n-1n，

122+132+…+1n2>12×3+13×4+…+1n(n+1)=

12-13+13-14+…+1n-1n+1=

12-1n+1=n-1n+1，

∴12-1n+1<122+132+…+1n2

點評 添加、刪除某些項和增大、減小某些項是放縮法證明不等式中兩類基本放縮類型.添加、刪除某些項的特點是項數變了，增加或減少了；增大、減小某些項的特點是項數不變，因題目的需要保留項的位置，增加、減小某些項的值達到放縮的效果.在教學時應確立基本類型，注意區別，才能有的放縮.

二、常見的幾種放縮技巧（方法）

不等式的證明涉及的知識面很廣，不同的題型需要有不同的角度.這樣在運用放縮證明不同的不等式時就會有各種類型或不同的入口，下面就不同的情景一一舉例.

1運用裂項法進行放縮

例3 已知n∈N*，求證：1+12+13+…+1n<2n.

證明 ∵1n=22n<2n-1+n=2(n-n-1)，

∴1+12+13+…+1n<2(1-0+2-1+…+n-1-n-2+n-n-1)<2n，

∴1+12+13+…+1n<2n.得證.

點評 裂項法放縮不等式常用于被證式子為分式、根式時，在出現根式時往往通過分母有理化后以達到裂項的效果.例3是運用了增大、減小某些項這一基本方法后，再運用裂項進行放縮.常見的裂項法放縮的公式有：

（1）1n-1n+1<1n2<1n-1-1n；

（2）n-1-n=1n+n+1<12n<1n+n-1=n-n-1.

2應用“經典不等式”進行放縮

例4 設x1，x2，…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求證：x211+x1+x221+x2+…+x2n1+xn≥1n+1.

證明 (n+1)#8226;x211+x1+x221+x2+…+x2n1+xn=

(1+x1+…+1+xn)#8226;x211+x1+…+x2n1+xn≥

1+x1#8226;x11+x1+1+x2#8226;x21+x2+…+

1+xn#8226;xn1+xn2=(x1+x2+…+xn)2=1.

點評 例4分別應用了均值不等式、柯西不等式進行了放縮.在應用“經典不等式”進行放縮時大都體現了兩大基本技巧中的增大、減小某些項.在應用時要特別關注被證式子的特點，結合“經典不等式”進行有效地放縮.常見的“經典不等式”有：

（1）三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

（2）均值不等式：已知a，b∈R+，則21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.（當且僅當a=b時取等號）

（3）貝努力不等式：已知x>-1且x≠0，n∈N*，則(1+x)n≥1+nx.

（4）柯西不等式：(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.

（5）排序不等式：設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么：a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn，當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時，反序和等于順序和.

3運用二項式定理進行放縮

例5 已知n∈N*且n>1，求證：2<1+1nn<3.

證明 1+1nn=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+ Cn-1n1nn-1+Cnn1nn

=1+1+n(n-1)2!#8226;1n2+…+ n(n-1)#8226;…#8226;2(n-1)!#8226;1nn-1+n!n!#8226;1nn.(*)

易知（*）式>2(n≥2，n∈N*).

又（*）式<1+1+n22!#8226;1n2+…+n(n-1)(n-1)!#8226;1nn-1+nnn!#8226;1nn<2+12!+…+1(n-1)!+1n!

<2+12×1+13×2+14×3+…+1(n-1)×(n-2)+1n×(n-1)

=2+1-12+12-13+13-14+…+1n-2-1n-1+1n-1-1n=3-1n<3，

∴2<1+1nn<3.得證.

點評 例5要抓住1+1nn這個式子中有n次方這一特點，聯想二項式定理，以此為突破口，再結合基本的放縮技巧進行放縮.

4構造等比、等差數列進行放縮

例6 求證：∑ni=1i24i<4964.

證明 ∑ni=1i24i=14+442+943+1644+2545+…+n24n

=4564+2545+…+n24n.（*）

利用2n>n2(n≥5)，

則（*）式<4564+2445+…+2n4n=4564+125+…+12n=4564+125-12n121-12=4564+124-12n=4964-12n<4964.得證.

點評 構造等差、等比數列進行放縮往往用于與自然數有關的不等式.構造等比數列放縮往往已經運用了增大、減小某些項這一基本技巧，然后抓住a1(1-qn)1-q=a11-q-a1qn1-q，(a1>0，|q|<1)式子中的a1qn1-q進行放縮.

5構造函數利用單調性進行放縮

例7 求證：對于一切大于1的自然數n，恒有1+131+15…1+12n-1>1+2n2.

證明 原不等式變形為

1+131+15…1+12n-11+2n>12.

令f(n)=1+131+15…1+12n-11+2n，(n=2，3，…，n)，則

f(n+1)f(n)=1+12n+11+2n2n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=2n+24(n+1)2-1>2n+24(n+1)2=1，

∴f(n+1)>f(n)，

∴f(n)>f(2)=1645>12.

故原不等式成立.

點評 在應用構造函數時要抽象被證式子為函數的形式.在涉及數列構造為函數時，應抓住數列本身的特點說明單調性，即從第二項起，前一項與后一項進行比較，要么作差，要么作商，進行遞推，進而說明單調性.

放縮法證明不等式技巧性強，涉及知識面廣，但只要明確兩大基本的放縮類型，掌握放縮方法技巧，我們就能有的放矢、有的放縮.

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