數(shù)學(xué)思想方法在解二次根式問(wèn)題中的活用

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本的數(shù)學(xué)思想方法和基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科的根本.然而數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的關(guān)鍵.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，尤其需要用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)統(tǒng)帥，去探求解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程.下面就數(shù)學(xué)思想方法在二次根式解題過(guò)程中靈活運(yùn)用舉例如下，與同仁磋商.

一、“整體”代入思想

例1 已知x-y=25，xy=5，求（x+1）(y-1)的值.

解析 由于（x+1）(y-1)=xy-(x-y)-1，

把x-y=25，xy=5代入其中，得

原式=5-25-1=-5-1.

簡(jiǎn)評(píng) 以學(xué)生當(dāng)前所學(xué)知識(shí)，依據(jù)條件求x，y的值很困難.即便能求得x，y的值，再代入求值，過(guò)程也相當(dāng)繁瑣.這道題解法把條件看成整體代入求解，體現(xiàn)整體的數(shù)學(xué)思想.

二、方程思想

例2 如果(x-1)2+x+y-4=0，求x+yx的值.

解析 ∵(x-1)2≥0，x+y-4≥0，

且(x-1)2+x+y-4=0，

∴(x-1)2=0，x+y-4=0，

∴x-1=0，x+y-4=0，

解得x=1，y=3.

∴x+yx=1+31=4.

簡(jiǎn)評(píng)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為零，從而可以把多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)方程（組）求解，體現(xiàn)了方程的數(shù)學(xué)思想.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3 已知a，b，c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，求|c-b|-|a-c|+(b+c)2的值.

解析 由數(shù)軸可知：

b＞a＞0，c＜0，c-b＜0，a-c＞0，b+c＞0.

∴原式=|c-b|-|a-c|+|b+c|=b-c-(a-c)+b+c=b-c-a+c+b+c=2b-a+c.

簡(jiǎn)評(píng) 這道題數(shù)軸中隱含著解題所需要的信息，需要我們細(xì)心挖掘，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

四、分類(lèi)討論思想

例4 已知xy=3，求xyx+yxy的值.

解析 ∵xy=3，∴x，y同號(hào).

(1)當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，

原式=xy+xy=2xy=23.

(2)當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，

原式=-xy-xy=-2xy=-23.

簡(jiǎn)評(píng) 這道題由條件可知解題所需信息x，y同號(hào)，從而我們分類(lèi)討論預(yù)以解答，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.

五、轉(zhuǎn)化思想

例5 定義運(yùn)算“*”的運(yùn)算法則為a*b=a2+b(b≥0)，則（3*6）*8=.

解析 ∵3*6=32+6=15，

∴（3*6）*8=15*8=(15)2+8=23.

簡(jiǎn)評(píng) 這道題通過(guò)定義新運(yùn)算，把陌生的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

六、不等式思想

例6 計(jì)算a+4-9-2a+1+3a+-a2.

解析 ∵a+4，9-2a，1+3a，-a2都是二次根式，

∴a+4≥0，9-2a≥0，1+3a≥0，-a2≥0.

∴a=0.

∴原式=4-9+1+0=2-3+1+0=0.

簡(jiǎn)評(píng) 這道題屬于二次根式的計(jì)算，隱含著被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)這一條件，依據(jù)這一條件，可以將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式（組）問(wèn)題，從而得到a的值進(jìn)行求解.體現(xiàn)了不等式的數(shù)學(xué)思想.

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