素數的生成和孿生素數的尾數循環周期

【摘要】任何一個數，無論大小，只要數字順序不空缺，它至少包含著1個素數；任何兩個相同的數相加，只要數字排列順序不空缺，至少直接或間接生成一個素數；任何一個偶數最少等于一對兩個都是素數的對應數的和；孿生素數隨著沒有2，3，5的倍數的素數的出現而生成，有著沒有2，3，5的倍數的素數尾數的循環周期，隨著沒有2，3，5的倍數的素數的增大而衰亡.（循環素數大到趨近于無窮大，孿生素數因趨近于無窮大的數不會出現2個所以衰亡）

一、素數的生成

1任何一個數，無論大小，只要數字排列順序不空缺，它至少包含著1個素數

（1）奇數an=29Sn+1，當Sn中的各節位數相等、排除特殊數后，an就是素數；

（2）偶數an=29(Sn-5)+2分成兩個式子：an=29(Sn-5)+2=19(Sn-5)+1+19(Sn-5)+1.當(Sn-5)中的各節位數相等、排除特殊數后，aa和ab就是素數；無論是奇數和偶數的公式中可以看出都包含優素數的成分：29Sn和29(Sn-5)只要Sn和(Sn-5)可以分成9的正整數倍數，an就是兩個素數的和.

如1包含著1，1就是素數；1=29S1+1，因為S1=0（1沒有可能有的余數，商位及商位和都等于0），所以a1=0+1=1.

2包含著1，2，只要數字排列順序不空缺，1和2都是素數；a2=210S2+1，因為S2=5（取為整數），所以a2=210×5+1=1+1.

3包含著1，2，3，只要數字排列順序不空缺，1，2，3都是素數；a3=29S3+1，因為S3=9，所以a3=(2+1).

4包含著1，2，3，4，只要數字排列順序不空缺，至少包含著1個素數；a4=29(S4-5)+2，因為S4-5=1×9，所以a4=2+2，……

任何一個數，無論大小，只要數字排列順序不空缺，它至少包含著1個素數.

2任何兩個相同的數相加，只要數字排列順序不空缺，至少直接或間接生成一個素數

（1）兩個相同的奇數和：an=29Sn+1+29Sn+1=229Sn+1，因為Sn是9的正整數倍數，所以229Sn+1是偶數（任何整數的2倍都是偶數）.229Sn+1中含有素數的成分29Sn+1里至少包含著1個素數.

（2）兩個相同的偶數和：an=29(Sn-5)+1+29(Sn-5)+1=229(Sn-5)+1，229(Sn-5)+1是偶數，可以寫成an=29(Sn-5)+2，其中至少包含著1個素數.

1是原始數，是不通過任何運算得到的數，1本身就存在的數.任何數都是由1組成，通過加法逐個增加；通過乘法成倍增加；通過減法逐個減少；通過除法成倍減少.在1之前沒有2，是1+1=2，a1+a1=29S1+1+29S1+1，因為S1=0（1沒有可能有的余數，商位及商位和都等于0），所以a1+a1=1+1=2.直接生成素數2，至少直接或間接生成一個素數.

在2之前沒有3，是2+2=4，為了2~4之間數字排列順序不空缺，所以補充上3，直接生成偶數4，間接生成了素數3.1，2，3除了1和它自己，不再是任何數的倍數，所以稱之為素數.a2+a2=210S2+1+210S2+1，因為S1=5（取為整數），所以a2+a2=2+2=4.直接生成偶數4，間接生成了素數3，a4=29S1+1+29S3+1=1+3，至少間接生成一個素數3.

由于3的出現，就有3+3=6，直接生成偶數6，間接生成素數5.2×3=6，6=3+3，新生成的素數5和原有的素數3形成一對對應素數3和5，分別分布在6/2的前半部分和后半部分中.8=3+5.差額最小的對應素數是3和3，差額最大的對應素數也是3和3.偶數6最少有一對對應素數6=3+3.前3個數是1，2，3，后3個數是4，5，6，由于3+3=6生成了后3個數4，5，6，其中5是素數.在3之前沒有5，而是3+3=6，為了3~6之間數字排列順序不空缺，所以補充上4，5，4是2+2直接生成，5除了1和它自己，不再是任何數的倍數，所以稱5為素數.也就是說5是3+3=6間接生成的素數.a3+a3=29S3+1+29S3+1，因為S3=9（取為整數），所以a3+a3=3+3=6.直接生成偶數6，間接生成了素數5，a6=29(S6-5)+2=29S1+1+29S5+1=1+5，至少間接生成一個素數5.

a6=29(S6-5)+2=29S3+1+29S3+1=3+3.大于等于6小于∞的偶數都是兩個素數的和.

對于任何偶數an=29(Sn-5)+2=29Sx+1+29Sy+1=x+y，由一個偶數變成兩個素數的和，就要證明這兩個由偶數變成的素數是不是真的素數.用于商法驗證素數必須的兩個條件：（1）各節里的商位位數相等并等于9（是素數或者特殊數）；（2）用判定式kx=kt-kywky+1進行檢驗，無正整數解時該數才是素數.除1以外（1沒有可能有的余數，商位及商位和都等于0.以下同）可能形成兩個分別各節商位位數相等的商位和：

（1）可除盡素數商位和基數是102，商位和是5（已取為整數）的數；只可以形成1節1位可除盡素數的商位和，商位和是5的數是可除盡素數2.

（2）循環素數商位和基數是92，商位和是9（已取為整數）的數；可能形成兩個分別各節商位位數相等的商位和是92×1×2，1節2位或92×2×1，2節1位循環素數商位和，1節2位循環素數不存在，所以只有是2節1位循環素數，2節1位循環素數是3.

（3）商位和是14（已取為整數）的數；凡商位和不是9或5的正整數倍，該商位和是偶數（2的倍數）的商位和；149=1……5式中商數1表示只有1對對應數的素數.余數5表示是偶數.只有1對對應數的素數是3，余數5表示是偶數是3+1的偶數，就是4.商位和是14的偶數是4.

（4）商位和是20（已取為整數）的數；20是5的正整數倍數205=4，該數是有2對對應數的商位和的可除盡素數，就是可除盡素數5.

（5）商位和是23（已取為整數）的數；23不是9或5的正整數倍，該商位和是偶數（2的倍數）的商位和；239=2……5式中商數2表示只有2對對應數的素數.余數5表示是偶數.有2對對應數的素數是5，余數5表示是偶數是5+1的偶數，就是6.商位和是23的偶數是6.

a6=29(S6-5)+2.因為S6-5=2×9，

所以a6=19(2×9)+1+19(2×9)+1，a6=3+3.

（6）商位和是27（已取為整數）的數；27是9的正整數倍數279=3，該數是有3對對應數的商位和的循環素數，只有1節6位循環素數7.

（7）商位和是32（已取為整數）的數；32不是9或5的正整數倍，該商位和是偶數（2的倍數）的商位和；329=3……5式中商數3表示是有3對對應數的素數.余數5表示是偶數.有3對對應數的素數是7，余數5表示是偶數是7+1的偶數，就是8.商位和是32的偶數是8.

a8=29(S8-5)+2.因為S8-5=3×9，

所以a8=19(1×9)+1+19(2×9)+1，a8=3+5.

上述各數的商位和Sn<4×9，因為最小的特殊數（個位數特殊數）是8節數，只要新產生的數的各節商位位數相等就可以了，新產生的數肯定是素數，而且一個偶數至少有一對兩個都是素數的對應的和等于該偶數.

如果商位和Sn≥4×9時，即使新產生的數的各節商位位數相等，也要用判定式kx=kt-kywky+1進行檢驗，如果判定式無正整數解，那么該數是素數；如果判定式有正整數解，那么該數是特殊數.因為最小的特殊數（個位數特殊數）是8節數，Sn≥4×9可能會出現8節數.如特殊數9它的節數就是8節.特殊數9是8節1位合數，即kt=8，w=1.再設ky=2，把kt=8，w=1，ky=2帶入判定式，得kx=8-21×2+1，kx=63=2.判定式顯示正整數解，所以即使9的各節商位相等也不是素數而是特殊數.

盡管特殊數的出現占據了一些對應素數對的位置，但是，隨著數的增大對應素數對的對數也在增多，而且，對應素數對的增加速度遠遠大于特殊數個數的增加，如小于9的數沒有特殊數，奇數都是素數，大于10的數增加了1個特殊數9，9各節商的位數相等，都是1位，共有8節，但不是素數而是合數.對應素數對增加到2對.如10有2對對應素數對等于10：10=5+5=7+3，12應該有2對，但被特殊數占據1對還有1對：12=3+9=7+5.數字增加到22，對應素數對增加到3對.但特殊數沒有增加.

數字增加到94，對應素數對增加到5對.94=3+91=5+89=11+83=23+71=41+53=47+47，特殊數增加到第2個，這個特殊數是91，91是6位15節特殊數.第3個特殊數是4187，第4個特殊數是6533，第5個特殊數是8149，萬位數特殊數是10001，十萬位數特殊數是102173，百萬位數特殊數是1004329，千萬位數特殊數是10923709，228位47911節.

特殊數具有素數的一切特性（各節里的商位位數相等、商位和也相等），但不是素數，而是“兩個或兩個以上相同商位的素數的乘積”.如：9=3×3（n2一般不是特殊數，只有32例外）.第1個3的商位是1位，第2個3的商位也是1位，它們的乘積9是特殊數.如：91=13×7，13的商位是6，7的商位也是6，它們乘積91的商位也是6，91是特殊數.如：20002273=97×206209，97的商位是96，206209的商位也是96，它們的乘積20002273的商位也是96，20002273是特殊數.

相同商位的素數有2個一組的、有3個一組的、有4個一組的、有5個一組的、有6個一組的，個數最多的是7個一組的，只有一組的：

15901636019540111130134980157240015739901它們各個的商位都是15900.

……

盡管特殊數的出現增加、占據了一些對應素數對的位置，但是，大于等于6小于無窮大的偶數最少有1對兩個都是素數的對應數的和等于該偶數.

由于出現了5，就有5+5=10，直接生成偶數10，間接生成素數7和特殊數9.大于和等于9，小于無窮大的任何奇數都是3個素數的和.

寫出等于9的奇數公式：a9=29S9+1，∴S9=4×9.設一個小于該奇數的已確認的素數為該數的一個加數.設素數3為奇數9的第1個加數a3=29S3+1.

a9=29×4×9+1=29×1×9+1+29×3×9，式中29×3×9=6是偶數，

a9=6+29S3+1，a6=29S3+1+29S3+1，偶數是兩個素數的和（見（5）），

a9=29S3+1+29S3+1+29S3+1=3+3+3.

用同樣的方法可以得到大于等于9小于∞的任何一個奇數都是3個素數的和.

2×5=10，10=5+5，10=3+7，新生成的素數7和原有的素數5形成12的一對對應素數12=5+7，差額最小的對應素數是5和5，差額最大的對應素數是3和7.偶數10最少有一對對應素數10=3+7.前5個數是1，2，3，4，5，后5個數是6，7，8，9，10.由于5+5=10生成了后5個數6，7，8，9，10.其中7是素數.在5之前沒有7，是5+5=10，為了5~10之間數字排列順序不空缺，所以補充上6，7，8，9，6是3+3直接生成，7除了1和它自己，不再是任何數的倍數，所以稱7為素數.也就是說7是5+5=10間接生成的素數.

由于出現了7，就有7+7=14，2×7=14，7+7=14直接生成偶數14，間接生成2個素數11，13，2×7=10，14=7+7，14=3+11，新生成的素數11和原有的素數7形成14的一對對應素數14=3+11，差額最小的對應素數是7和7，差額最大的對應素數是3和11.14最少有一對對應素數14=3+11.前7個數是1，2，3，4，5，6，7，后7個數是8，9，10，11，12，13，14，由于7+7=14生成了后7個數8，9，10，11，12，13，14.其中11，13是素數.在7之前沒有11和13，是7+7=14，為了7~14之間數字排列順序不空缺，所以補充上8，9，11，12，13，8是5+3生成，9是3+3+3生成，11和13除了1和它自己，不再是任何數的倍數，所以稱11和13為素數.也就是說11，13是7+7=14間接生成的素數.

由于出現了11，13，就有11+11=22，13+13=26，17+17=34，19+19=38，等等.

……

3任何一個偶數最少等于一對兩個都是素數的對應數的和

任何一個數，無論大小，只要數字順序不空缺，它至少包含著1個素數；任何兩個相同的數相加，只要數字排列順序不空缺，至少直接或間接生成一個素數.新生成的素數和原有的素數形成一對對應素數，它們的和是個偶數.任何一個偶數最少等于一對兩個都是素數的對應數的和.

隨著素數的增大，新的素數就會不斷的出現，新的素數的出現促進更大的素數的產生.

2和5是可除盡素數，公式是an=210Sn+1.

除2和5以外的素數是循環素數，公式是an=29Sn+1.

二、對孿生素數的探討

1孿生素數的生成

孿生素數：兩個素數的差為2的兩個素數.大于11的孿生素數屬于循環素數，循環素數的尾數只有4個，那就是：1，3，7，9.

數的排列順序連貫數字的尾數是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0……如果沒有偶數，（2和2的倍數）數的排列順序連貫數字的尾數是1，3，5，7，9，循環周期是5/10.如果沒有2和5的倍數，排列順序連貫數字的尾數是1，3，7，9，循環周期是4/10.如果沒有2，3，5的倍數排列順序連貫數字的尾數是1，3，7，9，3，9，1，7.循環周期是8/30①……如果沒有1結尾的素數的倍數，數的排列順序連貫數字的尾數是1，3，7，9；如果沒有3結尾的素數的倍數，數的排列順序連貫數字的尾數是3，9，1，7；如果沒有7結尾的素數的倍數，數的排列順序連貫數字的尾數是7，1，9，3；如果沒有9結尾的素數的倍數，數的排列順序連貫數字的尾數是9，7，3，1.有可能產生孿生素數的就是數的排列順序連貫數字的尾數是1，3，7，9中的1，3，與7，9和3，9，1，7中的9，1，共3對.而這3對孿生素數的尾數的排列順序就是沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序.1~9按沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序應該是1，7，也就是把1，2，3，5，7，9去掉2，3，5，9就是1，7（沒有2，3，5及其倍數，9是3的倍數）.也就是說孿生素數是沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的素數所產生的.在72=49以前是純凈的沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的素數，72以后，7的倍數占據一部分沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的位置，112以后，又被占據一部分沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的位置，132再被占據一部分沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的位置……雖然沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序的位置也隨著數字的增加而增多，但孿生素數出現的機率就越來越少.

2孿生素數的循環周期

孿生素數是按周期出現的，第1個循環周期從11開始②，就是11，13，17，19，23，29，31，37，為第1個大周期，它們的尾數分別是1，3，7，9，3，9，1，7.1個小循環周期最多有3對孿生素數，由于第1個大循環周期只是沒有2，3，5及其倍數的尾數排列順序，沒有其他素數摻入，所以是孿生素數最全的1個周期，有3對，它們是：11和13，17和19，29和31.

第2個大循環周期有素數7和它的倍數的摻入（必須大于等于72，7×7=49），所以孿生素數只有2對，它們是：41和43，59和61.

第3個大循環周期有素數7的倍數的摻入（必須大于等于72，7×11=77，7×13=91），所以只有1對是孿生素數：71和73.這3個大循環周期每個周期都只包含有1個小循環周期.

從101開始進入第4大循環周期里的第1個小循環周期，那就是：101，103，107，109，113，119，121，127.其中有2對孿生素數101和103，107和109，缺少1對119和121，119是7的倍數（7×17=119，11×11=121）.

第4大循環周期里的第2個小循環周期，那就是：131，133，137，139，143，149，151，157.其中有2對孿生素數137和139，149和151，缺少1對131和133（133=7×19）.

第4大循環周期里的第3個小循環周期，那就是：161，163，167，169，173，179，181，187.其中只有1對孿生素數179和181，缺少2對：161和163，167和169.

第4大循環周期里共有5對孿生素數.

從191開始進入第5大循環周期里的第1個小循環周期，那就是：191，193，197，199，203，309，211，217.其中有2對孿生素數191和193，197和199，缺少1對209和211.

第5大循環周期里的第2個小循環周期，那就是：221，223，227，229，233，239，241，247.其中有2對孿生素數227和229，239和241，缺少1對221和223.

第5大循環周期里的第3個小循環周期，那就是：251，253，257，259，263，269，271，277.其中有1對孿生素數269和271，缺少2對251和253，257和259.

第5大循環周期里共有5對孿生素數.

為了符合孿生素數的規律，孿生素數尾數循環周期的劃分有以下規定：（1）小周期要按“沒有2，3，5及其倍數的尾數循環周期”為小循環周期，即尾數是1，3，7，9，3，9，1，7，個數是自然數順序排列不空缺的8/30.（2）大周期是一個或多個小周期組成，且第1對孿生素數的尾數必須是1和3的孿生素數.

以后的大周期因為數字越來越大，周期的開始數也不一定是從整千整萬開始，不便排號，所以稱某某數前后的周期，如1000前后的周期.

1000前后的周期：881~1027，包括5個小周期（取數時前后都要取10的正整數倍.如：881~1057要取880~1060）有2對孿生素數.它們是：881和883，1019和1021.

10000前后的大周期：9461~10087，包括了21個小周期，有10對孿生素數.它們是：9461和9463，9629和9631，9677和9679，9719和9721，9767和9769，9857和9859，9929和9931，10007和10009，10037和10039，10067和10069.

100000前后的大周期：99131~100157，包括了34個小周期，有7對孿生素數.它們是：99131和99133，99137和99139，99257和99259，99347和99349，99707和99709，99719和99721，99989和99991.

1000000前后的大周期：999611~1000207，包括了20個小周期，有3對孿生素數.它們是：999611和999613，999959和999961，1000037和1000039.

10000000前后的大周期：9999971~10000447，包括了16個小周期，有2對孿生素數.它們是：9999971和9999973，10000139和10000141.

任何一個大循環周期都從尾數是1和尾數3差數為2的兩個素數開始.在一個大循環周期里有1個或多個小循環周期.隨著數字的增大，大循環周期里的小循環周期的個數也在增多，但不是按比例增加.如第1大周期-第2大周期-第3大周期，每個大周期里都只包括1個小周期.在從99997871~100000543這個大周期里，就包括了89個小循環周期.只有7對孿生素數.也就是說孿生素數的個數隨著數字的增大出現的機率越來越少.

3生素數的衰亡

孿生素數不會大到趨近于無窮大，因為任何數大到趨近于無窮大時趨近于2，素數大到趨近于無窮大時也趨近于2，兩個相同的素數不是孿生素數.

29Sb+1-29Sa+1=2.

當aa和ab→∞時，

29Sb+1→2，29Sa+1→2，29Sb+1-29Sa+1→0.所以孿生素數不存在.

但也不會馬上消失，在一個大循環周期里有的小循環周期最多有3對孿生素數，有的小循環周期有2對孿生素數，有的小循環周期有1對孿生素數，有的小循環周期沒有孿生素數，大周期里的小周期個數越來越多，沒有孿生素數的小周期個數也越來越多，孿生素數個數總數越來越少，直至一個大周期里找不到一對孿生素數時，此時孿生素數就衰亡.

孿生素數的公式是29Sb+1-29Sa+1=2.

注釋 ①請參看王元和《7千萬以內帶有商位和節數的素數表》中的綜合表（A~A）表.該表的數字的尾數全部是1，3，7，9，3，9，1，7排列的.

②1~9是個不完全周期，完全周期的尾數是1，3，7，9，3，9，1，7，所以從11開始.

③文中全部公式引用于《余商法》.

【參考文獻】

［1］王元和.余商法.中國科教創新導刊，2009（32）：90.

［2］王元和.用《余商法》的公式證明哥德巴赫猜想.2011（5）：88.

［3］王元和.7千萬以內帶有商位和節數的素數表.博客網址：http://blog.163.com/p-n-wang/.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文