反證法在高中數學中的運用

【摘要】反證法是數學思維的一種，在許多較為復雜的數學問題的論證中是頗有價值的.充分運用反證法可以幫助學生迅速解決一些難題.文章將對反證法的策略選擇和使用方法進行探討.

【關鍵詞】高中數學；反證法；策略運用

在高中數學中，許多問題并不是按照常規形式出現的，學生在解決問題時如果一味地從常規思維，按照“順時針”的方式去思考問題，有時很難找到答案.此時需要進行“逆時針”思考，即從反證法的角度去思考問題.從教學實踐上看，反證法在數學問題的論證中是頗有價值的一種方法，其使用具有一定的廣泛性，在各種類型的數學問題中的應用也是比較普遍的.特別是在一些繁難的問題中，運用正向思維往往難以切入，運用反證法解決問題，將有其他的方法難以匹敵的重要作用，可以讓學生在“亂中取勝”，或許我們可以說反證法是“數學家最精良的武器之一”.

一、反證法運用的策略背景

我們說反證法是高中數學中常用的，而且是行之有效的方法.但是，因為反證法是需要學生具備逆向思維的，所以學生在學習中要面臨何時采用反證法，什么類型的問題適用于反證法的問題.在策略背景的采用上，教師應該給予一定的指導.

所有的方法在使用時都存在著一個合理選取的問題.反證法雖被人們所青睞，在高中數學中有著重要的作用，不過這并不是說這種方法能夠在所有的問題中顯示出優勢.高中學生在使用反證法或者其他方法的時候，都必須根據問題的特點，對癥下藥，才可能很好地突出其應有的效果.

一般地說，當問題具有下列特征時，可考慮引進反證法，借以思考和解決：

①從解題感覺上判斷.一般學生在解題時，都可以自己判斷問題的難度，當感覺從已知條件找不到直接下手的切入點，或者用來推證的條件嚴重不足時，就可考慮引進反證法.在這種情況下，使用反證法多是有效的，可以有效地促成學生的思路快速上路，解決問題的過程也會因此而簡單清晰.

②否定形式.在高中數學問題中，有些命題是具備某種類型的特點的，比如說已知信息中有用否定形式的：“沒有……”“不是……”或“不能……”，就說明此類問題具有反證法論證的特點.學生在看到這樣的信息時，就可以毫不猶豫地選擇“反證法”.這樣的信息觀察，能引導學生的思路迅速到位，結論也極易獲得.

③結論形式.從問題的結論往往也可以看出題目是否具有反證法的特征.比如結論是“唯一性”問題的論證，或者是推證無理數、無限多等結論的問題論證，使用反證法就會顯示出絕對的優勢.

④雙向選擇.其實，高中學生在實際的問題解決中，常常碰到的是有些數學問題既可用直接法推證，又可用反證法突破.而在這種情況下，學生就要考慮用反證法，較之直接證法是否更簡捷，更容易思考，更有效果.

二、反證法運用的實例探討

數學問題類型繁多，變化靈活，這就決定了學生在問題求解過程中，解決的方法也是不一而足，各具千秋.而論證性問題是數學問題中的一個重要類型，與此相關的問題可以說是萬花競開，爭奇斗妍，但從宏觀上看，對這種類型問題的思考和論證大多數是可以用反證法的模式進行思考.當然，我們應當仁不讓地選擇反證法以求問題解決，為的是尋找高質量、高效率的解題方式.而反證法在實際的解題過程中確實起到了這樣的功效，下面我們通過一些案例來展現反證法解題的魅力.

1應用反證法論證“唯一性”問題

如前所述，“唯一性”問題是反證法運用的一個重要標志.而從近幾年來的數學命題情況看，這種方式是比較流行的，在各種資料和試題中屢有出現，但是這種問題卻又是讓學生們頗感頭痛的問題.如果學生沒有反證意識，在解題思路上不得其法，從正面思考，多是敗退而回，往往會致使問題擱淺.而在教學中，教師若能想到從反面切入，讓學生有意識地利用反證法作用于問題，那可以幫助學生把存疑和困惑解決掉.

例1 設AB是已知線段，k是已知數，M在AB上，且符合條件AM∶MB=k，求證M是唯一的.

解析 這個問題是明顯的“唯一性”問題的論證，根據前邊我們所分析的策略背景，可以很快地考慮使用反證法.假如還有一個不同于M的M′，也滿足AM′∶M′B=k，如圖所示，由題設可知AM′M′B=AMMB，應用合比定理有AM′+M′BM′B=AM+MBMBABM′B=ABMBM′B=MB，這與假設中的M和M′是不同的兩點相矛盾，因而M和M′必是重合的，即M點是唯一的.

在這個問題中，反證法的應用可以說是非常有效，干脆利落.在假設還存在異于M的M′點的基礎上，根據已知條件，充分靈活地運用合比定理，很自然地推出了和題設條件相矛盾.

2運用反證法解決較難的論證題

在高中數學問題中，有很多題目都是具有一定難度的，盡管在題目形式上是比較簡單的，但是要解決起來也還是存在相當難度的.這個時候，與其運用直接解題思路，苦思冥想，不如運用反證法，快速解題.

例2 已知p3+q3=2，求證：p+q ≤2.

解析 此題用直接法推證明顯具有相當的難度，如果在此改證它的逆否命題“若p+q＞2，則p3+q3≠2”那就不一樣了.在此可考慮引進反證法.假設p+q＞2，則q>2-pq3>8-12p+6p2-p3p3+q3>6p2-2p+43=6(p-1)2+13p3+q3>2+6(p-1)2p3+q3>2，∴p3+q3≠2.所以原命題得證.

在此，邏輯推理嚴謹而清晰，論證自然而流暢，可謂是干凈利落，快速而有效.而這正是教師教學所要完成的任務，是學生學習所要達到的目標.

三、結束語

總之，在高中數學學習中，解題方法是多種多樣的，反證法作為其中的一種，對學生的數學學習有重大的幫助.高中數學教師應該在講解反證法運用的背景之下，在課堂上引導學生進行不斷地思考和實踐.

【參考文獻】

［1］車蘭琴.談反證法及其應用［J］.數學教學研究，2005（3）.

［2］潘國本.快樂數學［J］.思維與智慧，2009（22）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文