例談“再創造”數學課堂的教學設計

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為，數學教育是一個活動過程，學生的再創造學習是數學教學方法的核心.《普通高中數學課程標準(實驗)》也提出，學生的學習過程應成為在教師引導下的“再創造”過程.筆者以為，“再創造”相對于“原始創造”，不是機械地去重復，而是每個人在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識.本文以“三角函數線”的教學設計為例，談談如何讓再創造學習方式融入數學課堂教學.

一、教學設計的背景和思路

三角函數線是三角函數的一種幾何表示，它既可以直觀地表示三角函數值的符號及大小，又可在旋轉角的過程中表示各三角函數值的變化規律.作為討論三角函數性質的一個重要工具，透徹理解在單位圓中的三角函數線并能靈活運用是后繼學習能否跟上的關鍵所在.

傳統課堂教學中，往往是教師直接地、生硬地把概念“拋”給學生，學生不明所以，更不知其內在的規律和聯系的必然性.因此，筆者考慮創設一種問題情境，給學生獨立探索的時間，使他們有機會經歷數學知識發生、發展和“再創造”的全過程，從而把教學真正建立在學生自主探索、思考、理解的基礎上.

二、教學設計的實錄和分析

師：任意三角函數的代數定義是用角α終邊上任意一點P（端點除外）的坐標(x，y)及P到原點的距離r來表示角α的三角函數.

（教師演示）改變P點在終邊上的位置，三角函數值不變，說明三角函數值與P點相對于終邊的具體位置無關；而改變角α的大小，三角函數值發生改變，說明三角函數是以角為自變量，以比值為函數值的函數.

（提出問題）既然三角函數值與P點相對于終邊的具體位置無關，那么我們能不能在角α終邊上選取一個有代表性的確定的P點，以此點來研究三角函數呢？

生1：可取一個特殊點P，使得它到原點的距離r=1.

生2：這樣一來，sinα=yr=y1=y，相類似地，cosα=x，我們可以用P點的坐標直接表示角α的正弦與余弦了.

師：能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來表示三角函數呢?請同學們想想，哪些圖形與這些數值有關呢?

生：可以作PM⊥x軸，根據坐標的意義，就可以用PM的長來表示sinα，用OM的長來表示cosα.

生：用線段的長來表示三角函數似乎有問題，線段的長恒為正，但點的坐標x，y可能有正負之別，我們不能用線段的長來表示一個負數.

師：用線段的長度來表示sinα，cosα確有不妥，我們需要在線段的長度的基礎上給出一個正負號.例如，在數軸中的線段OA，OB，我們應該如何規定它們的正負呢？

生（脫口而出）：OA為正，OB為負.

師（追問）：為什么？

生：數軸向右方向為正，而OA向右，OB向左.

師：BO與OB一樣嗎？

生：當然不一樣，方向不同.

師：像這種帶有方向的線段數學中稱為有向線段，這樣我們就可用一個有向線段來表示任意一個實數了，OA=+25，OB=-34.那么我們應該用什么樣的有向線段來表示sinα和cosα呢？有向線段的正方向又該如何規定呢？

（學生討論）

生：我們認為，取有向線段MP，OM分別表示sinα和cosα，與x軸平行的線段應以x軸正方向為正，與y軸平行的線段應以y軸正方向為正.

師：很好，實際上當α是第一、二象限角時，MP方向向上表示正值；當α是第三、四象限角時，MP方向向下表示負值；相類似地，當α是第一、四象限角時，OM方向向右表示正值；當α是第二、三象限角時，OM方向向左表示負值.這與sinα和cosα的代數定義是相吻合的，因此可用有向線段MP，OM來幾何表示sinα和cosα.

師：能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢?

生1：可以取x=1，過點(1，0)且與x軸垂直的直線正好是圓的切線.可以過單位圓與x軸的一交點A(1，0)作x軸的垂線與角α終邊相交于T點，則可用有向線段AT來表示tanα.

生2：不對，第二、三象限角的終邊與這條切線沒有交點.

生1：對啊，因為角α為第二、三象限角時x<0，不能取x=1，前面的作法顯然有疏漏之處.

生3：角α為第二、三象限角時，可以取x=-1，這樣就是過單位圓與x軸的另一交點B作切線了，而這一條切線與終邊當然相交.

生2：但這樣得到的有向線段BT方向向上，第二象限角的正切應該是負的啊？

生4：那就取有向線段TB來表示tanα，當α是第一、四象限角時，用AT來表示tanα；當α是第二、三象限角時，用TB來表示tanα.

師：這樣做完全可以，但我們還是要求簡單，最好只要一條切線，我們當然喜歡過A點的切線(因為這條直線上每個點的橫坐標都是1)，矛盾在于α為第二、三象限角時不能取x=1，而只能取x=-1，此時tanα=yx=y-1=-y1，我們能不能找(-1，y)的對稱點(1，-y)？

生4：我明白了，這樣仍可以過A點作垂線，但此時垂線不是與角α終邊相交而是與角α終邊的反向延長線相交，但構造出的有向線段符合我們的要求.

師：象限角α的終邊如果和過A點的切線不相交，那么它的反向延長線一定能和這條切線相交.因為△OMP∽△OAT，OM與MP同號時，OA與AT也同號；OM與MP異號時，OA與AT也異號，所以tanα=MPOP=ATOT=AT.

三、教學設計的反思和感悟

傳統的教學側重于概念的接受，學生對結果的掌握；而本設計側重于概念的產生、構建、形成.事實上，在教學中，教師應該創造合適的條件、設置豐富的情境、提供具體的例子，讓學生在實踐活動的過程中，自己“再創造”出各種概念、法則，或是發現有關的各種規律.在這個“再創造”的活動過程中，學生始終處于一種積極創造的狀態，成為主動的探索者、積極的思考者.

總之，教學設計要本著讓學生學會數學地思維、學會探究、學會應用、學會創新的教育理念，在教材深加工上狠下工夫，幫助學生進行數學知識的再創造和學會數學化.

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