例談不定方程的應用

未知數的個數不少于2的方程稱為不定方程.形如ax+by=c(ab≠0)的方程稱為二元一次不定方程，是最基礎的不定方程.當ax+by=c中a，b，c∈Z，且(a，b)=1時，只要知道方程的一個整數解x=x0，y=y0，則其所有整數解可用公式x=x0+bt，y=y0-at，（t∈Z）表示出來.

不定方程應用廣泛，解題技巧靈活，現舉例說明如下.

1應用不定方程解工程問題

例1 師徒兩人加工一批機器零件，師傅每天加工7個，徒弟每天加工4個，師徒二人至少各加工多少天后，師傅才比徒弟多加工2個機器零件?

解 設師傅加工x天，徒弟加工y天，依題意，得

7x-4y=2，則y=7x-24.

由此可知7x-2是4的倍數.

令7x-2=4k，得7x=2(2k-1).

可知x一定是偶數，且最小值為2.當x=2時，y=3，符合題目要求.故至少師傅加工2天，徒弟加工3天后師傅比徒弟正好多加工2個機器零件.

例2 甲、乙、丙三個工人加工一批零件，已知零件總數的五分之一是甲加工的，七分之幾是乙加工的，而丙加工了219個，這一批零件共有多少個？

解 設零件總數為y個，乙加工的零件數是零件總數的x7，則丙加工的零件是零件總數的1-15-x7=28-5x35.

又丙加工了219個零件，

所以28-5x35y=219，從而有y=219×3528-5x.

由于y是整數，只能取x=5，則y=2555.

故這一批零件共有2555個.

2應用不定方程解數的組成問題

例3 有一個兩位數，加上54以后，十位數字和個位數字正好互換位置，求這個兩位數.

解 設這個兩位數的十位數字與個位數字分別為x，y.

由題意，得10x+y+54=10y+x(0＜x≤9，0＜y≤9）.

整理化簡，得y-x=6，

解得x=1，y=7或x=2，y=8或x=3，y=9三組解.

故知所求的兩位數為17，28或39.

例4 甲、乙二人做同一個數的帶余除法，甲將其除以8，乙將其除以9，甲所得的商數與乙所得的余數之和為13，求甲所得的余數.

解 設甲所得的商和余數分別為a和b，乙所得的商和余數分別為c和d，依題意，得8a+b=9c+d，且a+d=13.

由a+d=13，得d=13-a.

代入8a+b=9c+d，得8a+b=9c+(13-a)，

即9(a-c)=13-b.

從而知13-b是9的倍數，由于b是被8除的余數，只能在0至7之間取值，所以b=4.故知甲所得的余數為4.

3應用不定方程解幾何問題

例5 有一個長寬不等且均為整數的長方形水池，該水池的面積和周長數值恰好相等，求它的兩條邊各有多少米.

解 設該長方形的邊長分別是x米和y米，則長方形的周長為2(x+y)，面積為xy.

依題意，得2(x+y)=xy，則x=2yy-2=2+4y-2.

因為x和y都是正整數，所以(y-2)是4的正約數.

因此(y-2)只能取1，2或4三個數值.

當y-2=1時，y=3，x=6；

當y-2=2時，y=4，x=4；

當y-2=4時，y=6，x=3.

已知這個長方形相鄰兩條邊是不相等的，所以它的兩條邊的長度分別是6米和3米.

4應用不定方程解年齡問題

例6 一名同學的生日的月份乘以31，日期乘以12，加起來的和正好是170，他出生于何月何日？

解 設該同學生于x月y日.

依題意，得31x+12y=170.

因為12y和170都是偶數，所以x必是偶數.又因為x和y都是正數，因此0＜x＜6，所以x只能取2或4，而170不是4的倍數，故x=2，于是12y=170-31×2=108，y=9.

可知這名同學生于2月9日.

例7 某人2010年時的年齡恰好等于他出生那一年的年號的各個數字之和，他出生在哪一年？

解 依題意，可設他出生于19xy年，

則2010-19xy=1+9+x+y.

化簡得11x+2y=100，變形為y=100-11x2.

又 因為0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y∈Z，

所以只能取x=8，得y=6.故知此人生于1986年.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文