利用解微分方程求冪級數的和函數

【摘要】本文介紹了三種相關微分方程的解法，并介紹這三種微分方程在求冪級數的和函數中的應用.

【關鍵詞】冪級數；和函數；微分方程

一、幾種相關微分方程的解法

1一階線性微分方程的解法

形如dydx+P(x)y=Q(x)的方程，我們稱之為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)為已知函數.當Q(x)=0時稱為齊次方程，當Q(x)≠0時稱為非齊次方程.

dydx+P(x)y=0可用分離變量的方法得到通解：

y=Ce-∫P(x)dx.

dydx+P(x)y=Q(x)可用常數變易法得到通解：

y=e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C.

2二階常系數線性微分方程的解法

形如y″+py′+qy=f(x)的方程我們稱之為二階常系數線性微分方程，其中p，q為已知常數.當f(x)=0時稱為齊次方程；當f(x)≠0時稱為非齊次方程.y″+py′+qy=0的通解可用如下方法得到：

第一步：寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0.

第二步：求出特征方程的兩個根r1，r2.

第三步：根據特征方程的兩個根的不同情況，寫出微分方程的通解，即

若r1≠r2，r1，r2為實根，則通解為y=C1er1x+C2er2；若r1=r2，則通解為y=(C1+C2x)er1x.；若r1=α+iβ，r2=α-iβ，則通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

y″+py′+qy=f(x)，當f(x)為指數函數、多項式函數和sinβx，cosβx或它們的乘積形式時，可以根據這種函數形式來推斷出特解的形式，再把形式解帶入方程，確定解中所含的常數值，這種方法稱為待定系數法.

當f(x)=eλxPm(x)特解具有形式xkQm(x)eλx時，其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式，k按λ不是特征根、是單特征根或二重特征根依次取0，1，2.

當f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］特解具有形式xkeλx［R1m(x)cosωx+R2m(x)sinωx］時，其中R1m(x)，R2m(x)是m次多項式，m=max(l，n)，k按λ+iω(λ-iω)不是特征根或是特征根分別取0或1.

3n階常系數線性齊次微分方程的解法

形如y(n)+p1y(n-1)′+…+pn-1y′+pny=0的方程，我們稱之為n階常系數線性微分方程，其中p1，p2，…，pn為已知常數.y(n)+p1y(n-1)′+…+pn-1y′+pny=0的特征方程為rn+p1rn-1+…+pn-1r+pn=0，根據特征方程的根（特征根）的各種不同情況，寫出微分方程的通解.詳見［1］.

二、利用解微分方程求函數項級數的和函數

例1 求無窮級數∑∞n=0xnn!的和函數S(x).

解 易求得級數的收斂半徑R=+∞，當-∞

例2 求無窮級數∑∞n=0x2n(2n)!的和函數S(x).

解 易求得級數的收斂半徑R=+∞，當-∞得C=12，所以S(x)=12(ex+e-x).

例3 求無窮級數∑∞n=0(-1)n-1x2n-1(2n-1)!的和函數S(x).

解 易求得級數的收斂半徑R=+∞，當-∞

例4 求無窮級數∑∞n=0x3n(3n)!的和函數S(x).

解 易求得級數的收斂半徑R=+∞，當-∞

例5 求無窮級數∑∞n=0x4n(4n)!的和函數S(x).

解 易求得級數的收斂半徑R=+∞，當-∞

又S(0)=0，S′(0)=0，S″(0)，S(0)=0，解四階常系數線性微分方程S(4)(x)-S(x)=0，S(0)=S′(0)=S″(0)=S(0)=0，得S(x)=14(ex+e-x)+12cosx，即∑∞n=0x4n(4n)!=14(ex+e-x)+12cosx.

【參考文獻】

［1］施慶生，許志成，朱耀亮，薛巧玲.高等數學.北京：高等教育出版社，2009.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文