數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)心得數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)心得

學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，數(shù)學(xué)更是這樣.因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了要學(xué)習(xí)新知識(shí)外，更要注重培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法去分析解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)與能力.1993年國(guó)家教委考試中心對(duì)應(yīng)用問(wèn)題有了必考的明確要求.近幾年的高考也是每年都會(huì)有一道實(shí)際應(yīng)用的題目出現(xiàn).根據(jù)這一形勢(shì)，我在平時(shí)的教學(xué)中特別注重應(yīng)用題的教學(xué)，收到了一定的教學(xué)效果.這里略談幾點(diǎn)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)心得.

一、注重從課本中挖掘與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題

課本的各章均能找出一些與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)的例題或習(xí)題，在教學(xué)時(shí)應(yīng)特別引起重視，并能理清題意，從中提煉出純數(shù)學(xué)問(wèn)題：如造價(jià)、利潤(rùn)等都是與函數(shù)的最大值或最小值有關(guān)的，而增長(zhǎng)率及利率、分期付款、溶液的多次對(duì)水后求濃度是與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用，住宅的采光好壞則是與幾何有關(guān)的應(yīng)用等等.

例1 飛機(jī)的水平飛行速度為v=150米/秒，若在飛行高度H=600米時(shí)投彈，求：

（1）炸彈離開(kāi)飛機(jī)后的軌跡方程.

（2）飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)的地方投彈（水平距離）才能命中目標(biāo)？

分析 彈道曲線方程是從實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的一種參數(shù)形式：x=vtcosα，y=vtsinα-12gt2，(t為參數(shù)）.建立直角坐標(biāo)系，以飛機(jī)飛行的水平線為x軸，投彈時(shí)飛機(jī)位置為原點(diǎn)，則彈道曲線方程為x=150t，y=-12gt2.要使投彈命中目標(biāo)A，則目標(biāo)必須在彈道曲線上，由于A點(diǎn)縱坐標(biāo)為-600，可得A點(diǎn)橫坐標(biāo)（水平距離）為x=30030=1643（米），即離目標(biāo)水平距離為1643米時(shí)投彈能命中目標(biāo).

高中數(shù)學(xué)課本中有很多這樣的應(yīng)用題，只要我們稍加留心，多注意運(yùn)用，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常可以接觸到應(yīng)用題，熟能生巧，考試時(shí)碰到應(yīng)用題就不會(huì)有恐懼心理.

二、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用氛圍，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用氛圍，找一些學(xué)生熟悉的題目，改變成應(yīng)用題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中提高學(xué)習(xí)的興趣，能收到事半功倍的效果.

例2 電影院的墻上有一塊屏幕，它的上下邊緣分別在前排觀眾水平視線的上方a米和b米，請(qǐng)問(wèn)：應(yīng)如何設(shè)計(jì)前排觀眾席與墻壁的距離才能使屏幕的視角最大？

分析 如圖，設(shè)前排觀眾席與墻壁距離為x米時(shí)，屏幕上下邊緣與前排觀眾的水平視線PM的夾角分別為α，β，即∠APM=α，∠BPM=β，則視角為α-β，tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=a-bx+abx，x+abx≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)x=ab時(shí)，x+abx取最小值2ab，即當(dāng)前排座位與屏幕間的距離為ab時(shí)，視角最大.

評(píng)注 學(xué)校經(jīng)常會(huì)組織學(xué)生看電影或錄像，視覺(jué)效果其實(shí)是學(xué)生很熟悉卻又不會(huì)注意的問(wèn)題，他們不容易想到視覺(jué)效果的好壞其實(shí)是可以用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋的，這個(gè)問(wèn)題的提出激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也可指導(dǎo)他們?nèi)绾芜x擇電影票使自己看電影的視覺(jué)效果最佳.與此相關(guān)的問(wèn)題還有畫(huà)展中如何布置畫(huà)框能使畫(huà)的視覺(jué)效果最佳.

三、聯(lián)系實(shí)際，引導(dǎo)生活

實(shí)際生活中有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，值得我們?nèi)ニ伎迹缂{稅問(wèn)題、分期付款問(wèn)題等等.

例3 《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定：全民每月工資，薪金不超過(guò)800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為每月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額 稅率

不超過(guò)500元的部分5%

超過(guò)500元至2000元的部分10%

超過(guò)2000元至5000元的部分15%

某人1月份應(yīng)繳納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資薪金所得是（）元.

分析 本題的關(guān)鍵在于弄清不同的工資薪金下納稅額的數(shù)值，采取對(duì)選擇支逐一檢查的辦法.

解 如果本月工資薪金在800~900元之間，至多應(yīng)納稅5元；

如果本月工資薪金在900~1200元之間，至多納稅20元；

如果本月工資薪金在1200~1500元之間，則所得稅介于20~45元之間，所以實(shí)際薪金為800+500+17.8=1317.8元.

評(píng)注 所得稅問(wèn)題是與我們生活息息相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生的父母都是納稅人，這一問(wèn)題的提出會(huì)讓學(xué)生有探究家庭收入的想法，引起他們的學(xué)習(xí)興趣.

四、重視基本方法和基本解題思想的滲透與訓(xùn)練

為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過(guò)程、建模思想.

教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實(shí)際問(wèn)題抽象、概括、轉(zhuǎn)化——數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，回答實(shí)際問(wèn)題.具體可按以下程序進(jìn)行：

（1）審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實(shí)際問(wèn)題非數(shù)學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問(wèn)題，舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系.為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細(xì)研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問(wèn)題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系.對(duì)學(xué)生生疏的情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化.

（2）建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的，是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系.將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建成數(shù)學(xué)模型.

（3）求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

（4）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實(shí)際意義適當(dāng)增刪，還原為實(shí)際問(wèn)題.

例4 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，寫(xiě)出該城市人口總數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式.

這是一道人口增長(zhǎng)率問(wèn)題，教學(xué)時(shí)為幫助學(xué)生審題，我在指導(dǎo)學(xué)生閱讀題時(shí)，提出以下要求：

粗讀，題目中涉及哪些關(guān)鍵語(yǔ)句，哪些有用信息？解釋“年自然增長(zhǎng)率”的詞義，指出城市現(xiàn)有人口、年份、增長(zhǎng)率、城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量.

細(xì)想，問(wèn)題中各量哪些是已知的，哪些是未知的？存在怎樣的關(guān)系？

建模，啟發(fā)學(xué)生分析：這道題與學(xué)過(guò)的、見(jiàn)過(guò)的哪些問(wèn)題有聯(lián)系，是如何解決的？對(duì)此有何幫助？

學(xué)生討論后，從特殊的1年、2年……抽象歸納，尋找規(guī)律，探討x年的城市總?cè)丝趩?wèn)題：y=100(1+1.2%)x.

五、注重積累，及時(shí)總結(jié)

我們所做的每一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題都會(huì)用到一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，通常稱之為數(shù)學(xué)模型或模特函數(shù)，熟練解決模型函數(shù)也是一項(xiàng)必備技能.

例5 某林場(chǎng)原有森林木材存量為a，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年冬天要砍伐的木材量保持不變.為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)20年達(dá)到木材存量至少翻兩番的目標(biāo)，求每年冬天的木材最大砍伐量.（計(jì)算時(shí)取lg2=030）

分析 設(shè)每年冬天的木材砍伐量為常數(shù)x，則從第一年開(kāi)始，以后每年的森林木材砍伐后的木材數(shù)量組成一個(gè)數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1=54a-x，且an+1=54an-x（n∈N*），則an+1-4x=54(an-4x).

數(shù)列{an-4x}是首項(xiàng)為a1-4x=54a-5x，公比為54的等比數(shù)列.

an-4x=54a-5x54n-1=54n(a-4x).

要達(dá)到20年后木材存量至少翻兩番的目標(biāo)，即a20≥4a，即a20-4x≥4(a-x)，

5420(a-4x)≥4(a-x)，x≤5420-445420-1a.

令A(yù)=5420，則lgA=20lg54=2，A=100，x≤100-44(100-1)a=833a，

即每年冬天的木材最大砍伐量為833a.

評(píng)注 本題用到的模型函數(shù)為數(shù)列與不等式，每道應(yīng)用題都會(huì)有它對(duì)應(yīng)的模型函數(shù).下面列舉一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題.

只要我們?cè)谧鐾赀@類題目后能及時(shí)歸納總結(jié)，以后碰到類似問(wèn)題就不會(huì)束手無(wú)策了.

教學(xué)的過(guò)程實(shí)際上是一種認(rèn)知的過(guò)程，只要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題加以足夠的重視，合理的方法指導(dǎo)，因材施教，想辦法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，就能使數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)對(duì)學(xué)生能力的提高起到積極的作用，使他們能學(xué)以致用，更加適應(yīng)高考形式的變化，使應(yīng)用題成為得分點(diǎn)，為學(xué)生的高考添磚加瓦.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文