數學解題中的函數構造策略

【摘要】函數思想是數學解題中的一種非常重要的數學思想方法，在數學解題中有著非常廣泛的應用.許多數學問題，諸如方程問題、不等式問題，如若按常規解題策略，可能會帶來繁瑣的計算和復雜的證明過程，不利于解題的順利進行；相反，根據已知條件和結論中的信息，構造適當的函數，常常能優化解題，從而達到事半功倍的效果.

【關鍵詞】函數；方程；不等式

一、引 言

構造性解題方法是一種古老而又嶄新的科學方法，歷史上許多著名的數學家如歐幾里得、高斯、拉格朗日等人，都曾用這一方法成功地解決過數學中的難題.本文主要從“構造函數解決一些方程和不等式問題”來闡述構造函數法在數學解題中的重要作用，同時也給出一些關于構造函數解題的看法.

二、構造函數法在數學解題中的重要作用

1構造函數在解決一些方程問題中的優越性

函數的思想，就是利用變化的觀點，把研究的數量關系用函數的形式表示出來，然后利用函數性質進行研究，最終使問題獲解.一旦給出具體形式的方程，就可以轉化為求解相應函數取值為零時的情形，使問題順利獲解的同時，優化了解題.

例1 已知多項式函數P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+e滿足關系式P(1)=1997，P(2)=3994，P(3)=5991，P(4)=7998，求表達式P(10)+P(-5)的值.

分析 此題若按常規求解，逐一將x=1，2，3，4代入，求解系數a，b，c，d，e，勢必帶來繁瑣的計算，當然這樣解題也不是命題者的初衷.其實解題的關鍵是：

（1）歸納得到P(x)=1997x（x=1，2，3，4，x∈Z）.

（2）構造函數Q(x)=P(x)-1997x，（x∈Z），將方程轉化為函數問題.

（3）利用因式定理分解Q(x).

事實上，Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-r)，r∈Z，代入解得結果為75315.

評注 函數Q(x)的出現，使得解題簡捷了許多.對于此類給出方程的基本形式及其若干取值的題型，經常考慮構造函數，結合因式定理來求解.

通過對上述例子的分析與評注，我們發現，對于一些特殊的函數方程問題，直接求解未必能使問題順利獲解，或者解題效率不高.此時我們必須認真分析條件與結論，探究其內在的聯系，構造出適當的函數，轉化解題思路，最終達到較為理想的解題效果.

2構造函數在解決一些不等式問題中的優越性

不等式問題是數學解題的一個重要對象，因此尋求實用有效的解題策略就非常有必要.由于不等式也蘊涵在函數觀點之下，所以利用函數思想來解決不等式問題也成為許多解題愛好者競相嘗試的一種方法，而且收到了不錯的效果.

例2 設A，B，C∈R，多元函數f(x，y，z)=A(x-y)#8226;(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y).求對于任意的x，y，z∈R，不等式f(x，y，z)≥0恒成立的充要條件.

分析 顯然，若x=y=z，f(x，y，z)=0符合題意，故可設y≠z，將函數f(x，y，z)=A(x-y)(x-z)+B(y-x)(y-z)+C(z-x)(z-y)適當變形，得到f(x，y，z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2.

于是f(x，y，z)=A(x-y)2-(B-A-C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2≥0恒成立等價于二次函數f(t)=At2-(B-A-C)t+C≥0恒成立，其中t=(y-z)-1(x-y).利用二次函數的性質即可求得充要條件.

評注 在處理許多有關“恒成立”的不等式問題時，我們經常借助構造二次函數f(x)=ax2+bx+c，利用它的一些性質：

①a>0時，Δ≤（<）0等價于f(x)≥（>）0恒成立；

②a<0時，Δ≤（<）0等價于f(x)≤（<）0恒成立，

把問題轉化，以便從更為便捷的途徑將問題解決.這一方法在求解變元的取值范圍、證明不等式問題上也很奏效.利用此法證明柯西不等式，會讓我們看到其獨到性和優越性.

從以上例子我們不難發現：許多不等式問題，如果不經過適當的變形，在求解時往往會出現不少障礙，有礙我們解題；有時即便已經做了合理的轉化，如果不借助函數手段，也很難簡捷有效地解決問題.為此，熟練掌握構造函數，利用函數思想巧解不等式問題這一項解題技巧，對于我們今后的教學工作，尤其是解題教學大有裨益.

三、構造函數求解方程和不等式問題中的誤區

作為一種解題策略，構造函數解題具有簡捷實用的特點，因而容易使人產生誤解，片面夸大了其解題的優越性和實用性，而忽視了策略自身的本質，即策略只有得到有效使用時才能體現其價值.

1審題不清，強行構造函數，造成運算繁瑣

其實對于含參數及變量的方程和不等式問題，考慮運用構造函數解題當然是可取的，但未必是最佳的.由于實現解題的最優化才是解題教學的本質，而數學問題的解決具有多種方法和途徑，因此選擇合適的解題策略非常重要.

2理解不透，構造函數不當，使解題陷入癱瘓

事實上，對于一類特殊的數學問題，構造函數是非常理想的解題策略，而且有時候無法用其他策略來替代.在正確地選擇策略的同時，必須深刻領會題意，構造合理有效的函數（可以不斷嘗試，不斷驗證），才能真正達到運用構造函數策略解題的目的.

四、結束語

數學解題策略是多種多樣的，每種策略作用在不同的對象上都有各自的獨特性和高效性，構造函數這一解題策略也不例外.構造函數解題要求解題者具有敏銳的洞察力和積極的創新意識，同時還需要一定的解題功底，因而決定了在付諸應用時可能存在的局限性.在充分考慮構造函數解題策略的局限性的同時，要發揮主觀能動性，開拓思路，努力嘗試，在實踐中展示這一策略的美感.

【參考文獻】

［1］余元希，田萬海，毛宏德.初等代數研究(下).北京：高等教育出版社.

［2］朱水根，王延文.中學數學教學導論.北京：教育科學出版社.

［3］趙小云.奧林匹克數學引論.南寧：廣西教育出版社.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文