向量數量積應用研究

【摘要】向量的數量積可以靈活地運用到代數、幾何、三角、復數等方面，使較為繁雜的問題簡單化，充分體現了數量積的重要性和應用性.

【關鍵詞】向量數量積；應用

由于向量具有幾何形式與代數形式的雙重性，所以利用向量的數量積和向量的運算法則，不僅可以解決向量長度、角度、垂直、平行、共線等問題，而且在其他數學分支中也有著廣泛的應用.本文略舉數例說明向量數量積在代數、幾何、三角中的應用.

一、向量數量積在代數中的應用

例1 已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證：|ac+bd|≤1.

分析 如果把a2+b2=1，c2+d2=1看作向量x=（a，b），y=（c，d）的模的平方，則ac+bd就是x與y的數量積，從而運用數量積的性質即可證出該不等式.

證明 設x=（a，b），y=（c，d），

則x#8226;y=ac+bd，|x|=a2+b2=1，|y|=c2+d2=1.

∵|x#8226;y|≤|x|#8226;|y|，

∴|ac+bd|≤a2+b2#8226;c2+d2=1，

即|ac+bd|≤1.

二、向量數量積在幾何中的應用

向量數量積在解決平幾問題時若能充分施展數形結合的優越性，將大大簡化運算過程，降低論證推理的難度.

例2 在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F為AB的兩個三等分點，AC，DF交于點G，試證：EG⊥DF.

分析 巧妙建立坐標系得到各點坐標，利用向量共線和垂直的等價條件建立方程是本題的關鍵.

解 如圖，以AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸，建立直角坐標系.設AD=1，則D（0，1），A（0，0），E（1，0），F（2，0），C（3，1）.

設G(x，y)，則AG=（x，y），AC=（3，1），DG=（x，y-1），DF=（2，-1）.

∵AG，AC共線，∴x-3y=0.

∵DG，DF共線，∴x+2(y-1)=0.

解方程組y=13x，x+2y-2=0，得x=65，y=25.

因此EG=（x-1，y）=15，25.

于是DF#8226;EG=（2，-1）#8226;15，25=0，∴EG⊥DF.

利用向量作為工具處理立體幾何問題，將空間結構代數化了，把空間的研究從“定性”推向到“定量”的深度，有利于學生克服空間想象力的障礙，既直觀又容易接受.

例3 橢圓x29+y24=1的焦點為F1，F2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是多少？

解 設點P坐標為(x，y).

由題設知F1(-5，0)，F2(5，0)，

則F1P=（x+5，y），F2P=（x-5，y）.

∵∠F1PF2為鈍角，∴F1P#8226;F2P<0.

即(x+5)(x-5)+y2＜0.

又 ∵y2=41-x29，代入上式，得5x29<1，

因此-35＜x＜35.

此題若用兩條直線的夾角來解，顯然不如上式簡單明了.因此解析幾何中的一些問題，通過向量來解決，常可以收到化繁為簡、化難為易的效果.

三、向量數量積在三角中的應用

一些三角公式，如兩角差的余弦公式、正弦定理、余弦定理等，用傳統的代數方法證明往往非常繁瑣，如果應用向量數量積這一工具，便可以十分簡捷地推導出來，且容易理解，在其他三角題目中，向量的數量積也能起到簡化運算的作用.

例4 已知cosθ+sinφ=-1，sinθ+cosφ=1，求sin(θ+φ)的值.

解 設m=（cosθ，sinθ），n=（sinφ，cosφ），

則m2=|m|2=1n2=|n|2=1，

m#8226;n=cosθsinφ+sinθcosφ=sin(θ+φ).

∵(m+n)2=m2+n2+2m#8226;n=2+2sin(θ+φ)，

又∵(m+n)2=(cosθ+sinφ，sinθ+cosφ)2=(-1，1)2=2，

∴2=2+2sin(θ+φ)，∴sin(θ+φ)=0.

結束語 向量知識的學習和運用，體現了數形結合的思想方法，我們在解題時只要巧妙構思，由數思形，以形助數，往往能獨辟蹊徑，達到柳暗花明的效果.

【參考文獻】

［1］林海玲.向量數量積的多角度用途.中學數學教與學，2003（6）.

［2］郭梅竹.向量在代數中的應用.數理天地(高中版)，2006（1）.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文