加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué) 提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

【摘要】在新課程學(xué)習(xí)的背景下，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識，開展各種課型的數(shù)學(xué)建模教學(xué).用數(shù)學(xué)建模解決實際問題，體會數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)中用，用中學(xué).使學(xué)生提高建模能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)應(yīng)用

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提出高中課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實際背景，反應(yīng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.高中數(shù)學(xué)新課程的內(nèi)容增加“數(shù)學(xué)建模”板塊，開展形式多樣的“數(shù)學(xué)建模”的學(xué)習(xí)活動.在新授課教學(xué)中加強(qiáng)建模意識，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程，在數(shù)學(xué)選修課中拓展數(shù)學(xué)的建模知識.高中課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

所謂數(shù)學(xué)模型，是指對于現(xiàn)實世界的某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系，做了一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過對實際問題與數(shù)學(xué)模型化，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法.數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是將客觀事物數(shù)學(xué)化的能力，是指從文字?jǐn)⑹龅默F(xiàn)實問題出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)思考，對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，綜合應(yīng)用所學(xué)的中學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法加以解決的能力.

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）：把生活中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解答生活中的實際問題，把學(xué)生知識的這一應(yīng)用過程稱為數(shù)學(xué)建模.以建立數(shù)學(xué)模型為手段，以數(shù)學(xué)建模為載體，獲得適應(yīng)未來發(fā)展所需的基本思想方法和必要應(yīng)用技能，以使學(xué)生能運用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實際問題.

數(shù)學(xué)建模的一般思路和方法步驟：

高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)明確要求學(xué)生逐步學(xué)會把實際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)建模解決實際問題，觀察實際問題的結(jié)構(gòu)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再把數(shù)學(xué)模型納入所學(xué)的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)處理.因此需要把數(shù)學(xué)建模意識貫穿教學(xué)的始終，這就必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，不斷提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

所謂教學(xué)建模，就是針對研究問題的特征結(jié)構(gòu)或數(shù)量關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖形語言，概括地、近似地表達(dá)出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)模式.在高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實踐中，我們可以嘗試各種課型對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行探索研究.

一、基于問題情境的數(shù)學(xué)新授課的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

在新授課中的公式、定理、概念、方程式等等都是一些具體的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合新授課讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)模型和引入建模思想.教材的每一章課前問題背景引入都是很好的建模原型，新授課時可以簡單介紹其學(xué)習(xí)背景，待章節(jié)完成后再予以解決.新授課學(xué)習(xí)新概念、介紹相關(guān)知識點的應(yīng)用時進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以設(shè)計實際問題情境引出相關(guān)的新知識，使學(xué)生在實際問題的載體中學(xué)習(xí)新知識.如必修1基本函數(shù)問題的模型，必修2立體幾何（土木建筑、機(jī)械設(shè)計、航海測繪、容積、面積觀測）的應(yīng)用，必修3概率與統(tǒng)計的應(yīng)用（生物模型、等待問題、天氣預(yù)報），必修4（三角函數(shù)模型、平面向量應(yīng)用），必修5（解三角形應(yīng)用、數(shù)列的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用），新授課中的范例教學(xué)時把相關(guān)的數(shù)學(xué)問題放入相應(yīng)的模型求解，完成問題數(shù)學(xué)化.新授課中變式引申也可以把純數(shù)學(xué)問題設(shè)計為有實際背景的建模應(yīng)用問題.挖掘課本中的數(shù)學(xué)問題的生活模型，深入分析，不斷滲透數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)中用，用中學(xué)，使學(xué)生養(yǎng)成把數(shù)學(xué)作為工具應(yīng)用的意識.

如《幾何概型》新授課教學(xué)的重點是要引導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過大量的幾何概型的實例與數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生概括、理解幾何概型的兩個特征及概率計算公式.使學(xué)生初步能夠把一些實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，并能夠合理利用統(tǒng)計、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法有效解決有關(guān)的概率問題.

例1 甲乙兩人相約在上午8:00至9:00之間在某地見面，可是兩人都只能在那里停留5分鐘，問兩人能夠見面的概率有多大？

模型分析 因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本由兩個數(shù)（甲乙兩人各自到達(dá)的時刻）組成，在1小時內(nèi)有無數(shù)個時刻，模型涉及幾何圖形的面積，符合幾何概型的條件.

模型假設(shè) 設(shè)甲x分鐘后到達(dá)，乙y分鐘后到達(dá)，則0≤x≤60，0≤y≤60.

模型建立 點（x，y）形成直角坐標(biāo)系中一個邊長為1的正方形，以（0，0），（60，0），（0，60），（60，60）為頂點，由于兩人只能停留5分鐘，所以在|x-y|≤5時，兩人才能見面.從而可以繪制坐標(biāo)軸，數(shù)形結(jié)合，得到結(jié)果.由于|x-y|≤5是兩條平行直線x-y=5與y-x=5之間的帶狀區(qū)域，分布在等待時間的直角坐標(biāo)系中一個邊長為60的正方形的內(nèi)部.

模型求解 由于(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，停留5分鐘由圖中陰影部分所表示，記兩人能夠見面的事件A.

兩人見面的概率P（A）=帶狀區(qū)域面積正方形面積=P(A)=602-52602=143144.

二、基于綜合的專題應(yīng)用建模

安排單元知識的應(yīng)用專題滲透建模思想，提高創(chuàng)新意識，根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求和教材內(nèi)容主要有：構(gòu)建函數(shù)應(yīng)用（用料、造價、利潤、產(chǎn)量、測量、效率最高）的模型專題.構(gòu)建不等式的應(yīng)用（最優(yōu)化策略）的模型專題、構(gòu)建圓錐曲線的應(yīng)用（油罐車、通風(fēng)塔、拋物線拱橋、酒杯中數(shù)學(xué)）的模型專題、構(gòu)建數(shù)列的應(yīng)用（增長率、銀行貸款、細(xì)胞分裂、人口增長、生物體內(nèi)碳14的衰減）的模型專題、構(gòu)建概率與統(tǒng)計的應(yīng)用（有獎銷售、水庫的魚量）的概率模型專題、構(gòu)建立體幾何（土木建筑、機(jī)械設(shè)計、航海測繪、容積、面積觀測）應(yīng)用的模型專題.通過專題應(yīng)用建模復(fù)習(xí)，不斷鞏固知識，完善知識體系，以數(shù)學(xué)學(xué)科基本思想和方法貫穿各專題，按學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中的思維發(fā)展為線索，綜合知識系統(tǒng)和知識的交匯性，真正實現(xiàn)高效復(fù)習(xí).如在函數(shù)專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，可以設(shè)計下面的實際問題：

例2 某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨著利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1002x，其中哪哪個模型符合公司的要求？

模型分析 某個獎勵模型符合公司的要求，就是依據(jù)該模型進(jìn)行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元同時獎金不超過利潤的25%.

模型假設(shè) 由于公司的利潤目標(biāo)為1000萬元，只需在x∈［10，10000］上，檢驗三個模型的獎金y是否符合公司的要求.

模型建立 三個模型分別是一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，不妨在同一坐標(biāo)系中先作出三個函數(shù)的圖像，得到初步的結(jié)論，再提供具體的計算，確認(rèn)結(jié)果.

模型求解 略.

模型檢驗 三個函數(shù)模型求解比對，確認(rèn)模型y=log7x+1符合公司的要求.

通過三個函數(shù)模型的分別求解，既解決了實際問題，又全面地復(fù)習(xí)了三個不同函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的不同，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.利用函數(shù)模型解決實際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要方面，應(yīng)注意讓學(xué)生認(rèn)識常見函數(shù)的特點，注意選擇貼近學(xué)生生活實際的問題，引導(dǎo)學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)模型分析和解決它們，使函數(shù)的學(xué)習(xí)與實際問題緊密聯(lián)系.

基于綜合的專題應(yīng)用建模，選擇專題應(yīng)用的相關(guān)背景建模教學(xué)，擴(kuò)充學(xué)生的視野，拓展學(xué)生的思維空間.以問題為背景進(jìn)行建模教學(xué)，深刻理解概念，抓住問題的本質(zhì)，抓住知識的相互聯(lián)系，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵的思想與方法，做到各個模塊橫縱聯(lián)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

三、基于拓展的數(shù)學(xué)選修課建模

數(shù)學(xué)建模選修課可以增加和拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，打開數(shù)學(xué)思維定向的局限性，拓寬學(xué)生的信息視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.給學(xué)生講授數(shù)學(xué)建模的基本理論和基本方法，教師指導(dǎo)學(xué)生分析問題、設(shè)計問題，介紹怎樣建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，提高學(xué)生的觀察能力、創(chuàng)造能力和良好的思維品質(zhì).建模學(xué)習(xí)過程中補(bǔ)充相關(guān)的課外知識，選修中讓學(xué)生見識有鮮明的生產(chǎn)、生活或?qū)I(yè)化等實際背景和應(yīng)用價值的問題，如合理負(fù)擔(dān)出租車費、家庭日用電費的計算、住房房貸問題、超市的客流問題、銀行儲蓄問題、椅子放穩(wěn)模型等都可以用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識建立初等數(shù)學(xué)模型加以解決，還有社會熱點和市場涉及的成本、利潤、效益都是選修課建模問題豐富的題材.甚至可以引入社會學(xué)和政治學(xué)一些活動(如西方多黨投票聯(lián)合執(zhí)政模型)，也可以用數(shù)學(xué)模型來描述.

高中選修課建模的內(nèi)容可以選擇以下問題作為背景資料：1人口問題、人體減肥模型（借助函數(shù)建模）；2測量問題（涉及三角建模模型）；3教育儲蓄問題（涉及數(shù)列建模），營養(yǎng)配比問題（不等式建模），飲料罐的合理尺寸（立體幾何建模），蒲豐（buffon）投針問題（概率建模）.以上問題大都有較為寬泛的思想背景，具有擴(kuò)展性和開放性，便于不同層次的學(xué)生選題，使他們的主體意識、合作意識不斷發(fā)展參與到選修建模的各個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生都感到參加選修課建模是很有意義和有趣的一種活動.

例3 某公園的人工湖有四個小亭（如圖中的四個點A，B，C，D），它們恰好是一個邊長為2 km的正方形的四個頂點，為方便群眾的休閑生活，請你為公園管理處設(shè)計修建游湖棧道，看看誰設(shè)計的棧道最短.

學(xué)生設(shè)計1：在線段BC上取一點P，并將它與四個頂點相連而成的線段作為棧道線路.

學(xué)生設(shè)計2：在湖中選擇一點P，并將它與四個頂點相連而成的線段作為棧道線路.

學(xué)生設(shè)計3：修建一段與AB，CD平行且等距離的棧道MN，且M，N分別與AD，BC等距離，連接MA，MD，NB，NC.（三名學(xué)生設(shè)計圖中實線部分即為棧道）

未設(shè)計好的按學(xué)生3設(shè)計圖實施，則MN長為多少時，棧道的總長度最短？并比較三名學(xué)生哪一個的棧道最短.

解 若按學(xué)生1，如圖，延長線段AB至E，使得AB=BE，連接DE交BC與P，則點P為線段BC的中點，此時棧道最短.

證明 略.

若按學(xué)生2，連接AC，BD，則交點P即為所求.

證明 略.

解 設(shè)計3：由條件知MN垂直平分AD，設(shè)NM的延長線交AD于點O.

由正方形的對稱性可知AM=DM=BN=CN.

設(shè)∠MAO=θ，則AM=AOcosθ=1cosθ，OM=tanθ.

故棧道的總長度y=4AM+MN=4cosθ+2-2tanθ=4-2sinθcosθ+20≤θ≤π4，

y′=-2cosθ#8226;cosθ-(4-2sinθ)(-sinθ)cos2θ=2(2sinθ-1)cos2θ.

令y′=0，得sinθ=12，∵0<θ<π4，∴θ=π6.

當(dāng)θ∈0，π6時，y′<0，y是θ的減函數(shù)；

當(dāng)θ∈π6，π4時，y′>0，y是θ的增函數(shù).

∴當(dāng)θ=π6時，ymin=2+23.

這時OM的長為33km，MN的長為2-233km.

通過比較：學(xué)生3設(shè)計的棧道最短.

通過學(xué)生在選修課的設(shè)計，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，又很好地復(fù)習(xí)了幾何圖形的對稱性及函數(shù)建模、導(dǎo)數(shù)、三角、不等式等相關(guān)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法.通過數(shù)學(xué)選修課的建模活動加強(qiáng)應(yīng)用意識和熟練掌握建模方法，讓學(xué)生親自體驗數(shù)學(xué)知識與實際生活的聯(lián)系，親身體驗數(shù)學(xué)知識是怎樣應(yīng)用的過程.

發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，力求對現(xiàn)實世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷，是時代發(fā)展的需要，是新課程改革的需要，同時也是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定的.近幾年來，我國中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實踐表明，開展數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)活動符合社會需要，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，有利于擴(kuò)展學(xué)生的視野.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的建模能力，是擺在我們面前的艱巨任務(wù).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文